Question

（25分）图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v₀，使小球与 CB 边无接触地向下运动，当分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？

1.            2. 

设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。

Answer 1

八、参考解答：

小球获得沿竖直向下的初速度 v₀ 后，由于细绳处于松弛状态，故从 C 点开始，小球沿竖直方向作初速度为 v₀、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图1中的 M 点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为 α＝30? 。在这过程中，小球下落的距离

　 　（1）

细绳刚拉直时小球的速度 v₁ 满足下式：

（2）

在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可以不计，而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度 变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从 M 点开始以初速度

（3）

在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l，圆心位于 A 点，如图1所示。由（1）、（2）、（3）式得

（4）

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为 θ ，由能量关系有

（5）

用 F_T 表示绳对小球的拉力，有

（6）

1.

设在 时（见图2），绳开始松弛，F_T＝0，小球的速度 。以此代入（5）、（6）两式得

　 　（7）

（8）

由（4）、（7）、（8）式和题设 v₀ 的数值可求得

（9）

（10）

即在 θ₁＝45? 时，绳开始松弛。以 N??₁ 表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N??₁ 处以大小为 u₁，方向与水平方向成 45? 角的初速度作斜抛运动。

以 N₁点为坐标原点，建立直角坐标系 N₁xy，x轴水平向右，y 轴竖直向上。若以小球从 N₁ 处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻 t 的坐标分别为

　（11）

（12）

由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：

（13）

AD 面的横坐标为

　（14）

由（13）、（14）式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标

y＝0 　（15）

由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为

（16）

把（16）式代入（13）式，解得小球与 DC 边撞击点的横坐标

x＝1.75 l 　（17）

撞击点与 D 点的距离为

　（18）

2.

设在 时，绳松弛，F_T＝0，小球的速度 ，以此代替（5）、（6）式中的 θ₁、u₁，得

（19）

（20）

以 代入（4）式，与（19）、（20）式联立，可解得

　（21）

　（22）

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。