Question

如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩（可视为质点）质量为m=30kg，他在左侧平台上滑行一段距离以3m/s的速度从平台右侧水平滑出，而后恰能无碰撞地沿圆弧切线方向从A点进入竖直面内的光滑圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平．对应圆心角θ=106°，当小孩通过圆弧最低点时，对轨道的压力大小为915N．（计算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小孩自滑离平台至进入圆弧轨道所用的时间
（2）圆弧轨道的半径．

Answer 1

分析：（1）小孩无碰撞进入圆弧轨道，则小孩落到A点的速度方向沿A点的切线方向，根据平抛运动的高度求出运动的时间．
（2）根据机械能守恒定律求出小孩运动到最低点时的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出小孩在最低点对轨道的压力．

解答：解：（1）由题意知：小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向，小孩做平抛运动，则有 tan53°=

vy

v0

得 v_y=v₀tan53°=

4

3

 v₀=4m/s
又 v_y=gt
解得时间t=0.4s
（2）设小孩到最低点的速度为v_x，由机械能守恒定律得
 

1

2

m

v

2 x

-

1

2

m

v

2 0

=mg[h+R（1-cos53°）]
在最低点，据牛顿第二定律，有 F_N-mg=m

v 2 x

R

又 h=

1

2

gt²
由以上三式解得R=2m
答：
（1）小孩自滑离平台至进入圆弧轨道所用的时间是0.4s．
（2）圆弧轨道的半径是2m．

点评：本题考查了平抛运动、圆周运动的综合，运用了机械能守恒定律、牛顿第二定律以及运动的合成等知识，综合性较强，是一道好题．