Question

汽车由甲地从静止出发，沿平直公路驶向乙地．汽车先以加速度a₁做匀加速运动，最后以加速度a₂做匀减速运动，中间可能有一段匀速运动过程，也可能没有匀速运动过程，到乙地恰好停下．已知甲、乙两地相距为s，那么要使汽车从甲地到乙地所用的时间最短，汽车应做怎样的运动？最短时间为多少？

Answer 1

画出如图所示的v-t图线，四边形OABC的面积表示甲乙两地的距离x，OA、BC线的斜率表示汽车加速、减速的加速度a₁、a₂，OC线段表示汽车从甲地到乙地的时间t，要使时间t最短，x、a₁、a₂不变，须使BC沿t轴负向平移，AB沿v轴正向平移，得到三角形OA′C′，即汽车先匀加速运动，后匀减速运动，中间无匀速运动的过程．设汽车加速时间为t₁，减速时间为t₂，最大速度为v_m，由v_m=a₁t₁=a₂t₂和x=

vm

2

(t1+t2)得，


x=

a1t1

2

(t1+

a1t1

a2

)，
解得t1=

2a2x (a1+a2)a1

，t2=

2a1x (a1+a2)a2

所以最短时间t=t1+t2=

2(a1+a2)x a1a2

．
答：要使汽车从甲地到乙地所用的时间最短，汽车应先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，最短时间为

2(a1+a2)x a1a2

．