Question

8．如图所示，BCD为一竖直放置、半径为R的光滑圆管轨进，BC弧对应的圆心角θ=60°，连线CD是圆管轨道的竖直直径，放在光滑水平面上的弹簧弹射器水平弹射一质量为m的小球（可视为质点），恰好从圆管的B点沿该处切线方向进入圆管轨道，经BCD从圆管轨道的最高点D射出，且经过D点时小球对外侧管壁的作用力大小为mg，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g，求：
（1）小球经过D点时的速度大小；
（2）弹射小球时，弹簧具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）在D点，由合力提供小球所需要的向心力，由牛顿第二定律和向心力公式可求得小球经过D点时的速度；
（2）小球从A到B做平抛运动，由到达B点的速度方向，得出平抛运动的初速度与B点速度的关系．对B到D的过程，由机械能守恒定律列式，联立可求得平抛的初速度，对弹簧弹射过程，由机械能守恒定律求弹簧具有的弹性势能．

解答 解：（1）设小球经过D点时的速度大小为v_D．
在D点，由牛顿第二定律可得：
   F+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由题有 F=mg
解得：v_D=$\sqrt{2gR}$；
（2）设小球在B点时的速度大小为v_B．
从B到D的过程中，以B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_D²+mgR（1+cos60°）
设小球从A点到水平抛出的初速度大小为v₀；根据平抛运动规律可知：B点的水平分速度等于平抛初速度
有  v₀=v_Bcos60°
弹射的过程，由机械能守恒定律有
   E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：E_p=$\frac{5}{8}$mgR
答：
（1）小球经过D点时的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）弹射小球时，弹簧具有的弹性势能是$\frac{5}{8}$mgR．

点评 本题考查向心力公式、平抛及机械能守恒定律的应用，要注意正确选择物理过程，明确各个过程之间的联系，如速度关系，选择合适的物理规律进行研究．