Question

如图甲所示，质量为m=0.5kg、电阻r=1Ω的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平固定导轨滑行，导轨足够长，两导轨间宽度为L=1m，导轨电阻不计，电阻R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=1T．杆从x轴原点O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知杆在整个运动过程中v随位移x变化的关系如图乙所示．求：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离及此时R₁的功率．

Answer 1

【答案】分析：（1）杆在磁场中向右运动时，切割磁感线产生感应电流，受到向左的安培阻力作用，动能减小转化为电路的内能，根据能量守恒得到电路中产生的总热量，根据串、并联关系求出电阻R₁产生的热量，即为电流做功．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律，得到电流的平均值，求出通过杆的电量，由并联电路电流与电阻成反比，即可求得通过电阻R₁的电量，
（3）要使R₁产生1J的热量，求出电路中产生的总热量，根据能量守恒求出此时杆的速度，由图讲出位移x，由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出杆中电流，即可求出此时R₁的功率．
解答：解：（1）设整个电路中电流做功为W，则根据功能关系得
   W==J=4J
设杆中瞬时电流为I，则电流对杆做功W_ab=I²rt，
电流对R₁做功W₁=I₁²R₁t，电流对R₂做功W₂=I₂²R₂t，
由于=2，则，I₂=
又r=1Ω，R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，得W_ab=1.5W₁，W₂=0.5W₁，
∵W=W_ab+W₁+W₂=3W₁，
∴W₁==
（2）根据=，，q=，△Φ=BLx
联立得，通过杆的电量q=
代入解得，q=2C
由于R₁与R₂并联，电流与电阻成反比，而电量q=It，则得
通过电阻R₁的电量q₁==
（3）要使R₁产生1J的热量，由上题电功关系可知，R₁产生0.5J的热量，杆产生的热量为1.5J，电路中产生的总热量为Q=1J+0.5J+1.5J=3J
设此时杆的速度为v，由能量守恒得
   Q+=，
解得v=2m/s
由图知，杆需向右移动的距离x=1m
此时杆产生的感应电动势为E=BLv=2V，干路中电流为I==1A
则=
此时R₁的功率为P==
答：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功为J，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量为，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离为2m，此时R₁的功率为．
点评：本题中电磁感应中电路问题，分析电路中各部分电流关系是解题的关键，运用能量守恒、焦耳定律、欧姆定律、法拉第电磁感应定律及并联、串联的特点进行分析和求解．