Question

如图1所示，真空中有竖直放置的平行金属板A、B和水平放置相距为d的平行金属板C、D，C、D板长为L，A、B板间加有恒定的电压U₀，质量为m、电荷量为q的带电粒子从A板静止释放，经AB间的电场加速后进入C、D两板的正中间．在带电粒子进入C、D间的同时，给C、D两板加上如图2所示周期性变化的交变电压，（粒子重力不计）求：
（1）带电粒子进入C、D间的速度大小；
（2）若此粒子在T/2时间内从C、D间飞出，则飞出时在电场方向的位移是多少？
（3）若此粒子从C、D间飞出时恰能以平行于两板的速度飞出，则交变电压U₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由动能定理可得粒子飞出AB进入CD的速度
（2）粒子在CD间做类平抛运动，由平抛的规律可解得沿电场方向的偏转位移
（3）由于电压大小恒定，故粒子的加速度大小恒定，带电粒子在沿电场方向做单向的反复加速、减速运动，由于粒子是以平行于金属板的速度进入的，若再以平行与金属板的速度飞出，则粒子在金属板间的运动时间必须为电压周期的整数倍，且偏转位移小于极板宽度的一半，由此可得电压取值范围

解答：解：（1）带电粒子经A、B加速进入C、D间的过程中，根据动能定理得：
qU0=

1

2

mv02
解得：v0=

2qU0 m

（2）粒子在

T

2

时间内从C，D间飞出时，在CD间的电压恒为U₁，则粒子在CD间的运动时类平抛运动，则：
F=qE=

qU1

d

，
粒子加速度为：
a=

F

m

=

qU1

md

又运动时间为：t=

L

v0

当粒子从CD间飞出时，沿电场方向的位移为：
y=

1

2

at2=

qU1L2

2mdv02

=

U1L2

4dU0

（3）带电粒子在沿电场方向做单向的反复加速、减速运动，每次加速和减速过程中在沿电场方向的位移大小都相等，其大小为：
y0=

1

2

at2=

1

2

qU1

md

(

T

2

)2=

qU1T2

8md

欲使粒子恰能以平行于金属板的速度飞出，则应有：

L

v0

=nT(n=1、2、3…)
2ny0＜

d

2

解得：
U1＜

4nd2U0

L2

(n=1、2、3…)
答：
（1）带电粒子进入C、D间的速度大小为v0=

2qU0 m

；
（2）若此粒子在T/2时间内从C、D间飞出，则飞出时在电场方向的位移是y=

U1L2

4dU0

（3）若此粒子从C、D间飞出时恰能以平行于两板的速度飞出，则交变电压U₁的取值范围U1＜

4nd2U0

L2

(n=1、2、3…)．

点评：本题是比较综合的题目，重点结合电压，分析好粒子在极板间的运动形态．注意电压的周期性与粒子运动周期性的对应关系．