Question

17．在某行星上，航天员用弹簧测力计称得质量为m的砝码所受的重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量和密度．

Answer 1

分析 先m物体在星球表面的重量等于万有引力列式，再根据万有引力定律和向心力公式，两式联立即可解题；
由地球的万有引力提供卫星的向心力和密度定义求解．

解答 解：设星球半径为R，星球质量为M
则由m物体在星球表面的重量等于万有引力知F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg①
又万有引力提供向心力知：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R②
 由①②联立解得：M=$\frac{{{T}^{4}F}^{3}}{16{{Gπ}^{4}m}^{3}}$，
乘宇宙飞船在靠近该星球表面的空间飞行，测得其环绕周期为T，
由飞船的万有引力提供卫星的向心力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
根据密度定义得该星球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，
答：该星球的质量是$\frac{{{T}^{4}F}^{3}}{16{{Gπ}^{4}m}^{3}}$，密度是$\frac{3π}{{GT}^{2}}$．

点评 该题考查了万有引力公式及向心力基本公式的直接应用，难度不大，属于基础题．