Question

如图所示，正三角形ACD是一用绝缘材料制成的固定柜架，边长为L，在框架外是范围足够宽的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，ACD可视为磁场的理想内边界，在框架内有一对带电平行极板M、N，M板的中点K处有一粒子源，能够产生速度为零、质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子重力不计，带电粒子经两极板间的电场加速后从CD边中心的小孔S垂直于CD边射入磁场，若这些粒子与框架碰撞时无能量损失，且每一次碰撞时速度方向均垂直于被碰的边框，要使粒子在最短的时间内回到小孔S，求：
（1）粒子做圆周运动的轨道半径，并画出粒子在磁场中的运动轨迹和绕行方向；
（2）两极板M、N间的电压；
（3）粒子回到小孔S的最短时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做圆周运动，与框架碰撞后速度方向均垂直于框架，根据几何关系可以判断粒子最短时间内回到小孔的轨迹，根据洛伦兹力的方向判断粒子绕行方向；
（2）根据（1）中的粒子半径，利用洛伦兹力提供向心力和在电场中加速的动能定理进行计算即可；
（3）粒子在每次撞击中的时间t=

θ

2π

T，根据几何关系有

θ

2π

=

5

6

，所以粒子回到s与框架撞击3次，可以计算出运动的时间．

解答：解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，与边框垂直碰撞后要重新回到S，
由几何关系可知，A、C、D三点必为圆轨道的圆心，要使粒子回到S的时间最短，圆轨道半径R=

L

2

根据磁场方向和粒子所带电荷判断粒子运动轨迹和绕行方向如下图所示：

（2）因为粒子在磁场中做圆周运动的半径R=

L

2

，根据半径公式有：
R=

mv

qB

=

L

2

得：v=

qBL

2m

            ①
所以粒子在电场中加速时，根据动能定理，电场力做功等于粒子动能的变化有：
qU=

1

2

mv2-0          ②
将①代入②得：U=

qB2L2

8m

（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期T=

2πm

qB

，如轨迹图所示，粒子在磁场中运动的时间t=3×

5

6

T=

5πm

qB

答：（1）粒子做圆周运动的轨道半径R=

L

2

，粒子在磁场中的运动轨迹和绕行方向如上图所示；
（2）两极板M、N间的电压U=

qB2L2

8m

；
（3）粒子回到小孔S的最短时间t=

5πm

qB

．

点评：粒子在磁场中做圆周运动根据洛伦兹力提供向心力可得出粒子运动的半径、周期的表达式，根据几何关系求出粒子运动的轨迹；粒子在电场中加速运动满足动能定理，即电场力做功等于粒子动能的变化，根据粒子做圆周运动的时间计算式t=

θ

2π

T求粒子的运动时间．