Question

一倾角为θ=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h=1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板．在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点）．小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2．当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回．重力加速度g=10m/s²．在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

【答案】分析：先根据动能定理求解出第一次碰撞前的速度；根据动量定理得到第一次碰撞过程的冲量；再根据动能定理求解出第一次碰撞后上升的高度和返回后的速度；根据动量定理得到第二次碰撞过程的冲量；发现规律，求出前4次碰撞的总冲量．
解答：解：解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v．
由功能关系得①
以沿斜面向上为动量的正方向．按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量I=mv-m（-v）②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h′，则③
同理，有④
I'=mv'-m（-v'）⑤
式中，v′为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量．由①②③④⑤式得I'=kI⑥
式中  ⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为⑧
总冲量为⑨
由     ⑩
得     （11）
代入数据得     N?s              
答：在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是N?s．             
解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma①
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则②
以沿斜面向上为动量的正方向．按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为I=mv-m（-v）③
由①②③式得④
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a′，依牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma'⑤
小物块沿斜面向上运动的最大高度为⑥
由②⑤⑥式得   h'=k²h⑦
式中   ⑧
同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量⑨
由④⑦⑨式得 I'=kI⑩
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为（11）
总冲量为         （12）
由   （13）
得       （14）
代入数据得     N?s                             （15）
答：在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是N?s．
点评：本题关键是分析清楚物体的运动规律，然后根据动能定理、动量定理列式求解出总冲量，最后化解出最简形式．