Question

4．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O点，夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场；MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，且O点在磁场的边界上．现有大量质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0＜v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左．不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
（1）速度最大的粒子从O点运动至水平线PQ所需的时间；
（2）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，先求出粒子在匀强磁场中运动时间，粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，根据几何关系及速度时间公式求出时间，过MO后粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出此过程中的时间，三段时间之和即为总时间；
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁，

由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
T=$\frac{2πm}{qB}$，t₁=$\frac{1}{3}$T，
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，由几何关系知：
s=$\frac{R}{tanθ}$，
t₂=$\frac{s}{v}$，
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，则：
$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₃²，
又由题知：v=$\frac{E}{B}$，
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积，扇形OO′N的面积的面积S=$\frac{1}{3}$πR²，
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
△S=S-S′
解得：△S=$（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$；
答：（1）速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间为$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$．
（2）磁场区域的最小面积为$（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．