Question

6．2016年8月16日1时40时，我国在酒泉卫星发射中心成功将世界首颗量子卫星“墨子号”发射升空，在距离地面高度为h的轨道上运行．设火箭点火后在时间t内竖直向上匀加速飞行，匀加速过程的末速度为v，这一过程对应的质量为m，认为“墨子号”最终在轨道上做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略时间t内火箭的质量变化，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　）

• A． 火箭竖直向上匀加速过程中的推力为$\frac{mv}{t}$
• B． 火箭竖直向上匀加速飞行的过程中克服重力做功的平均功率为mgv
• C． 地球的平均密度为 $\frac{3g}{4πGR}$
• D． “墨子号”在最终轨道上绕地球运行的周期为$\frac{2m（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$

Answer 1

分析 由匀变速运动规律得到火箭加速度，进而得到合外力，再根据受力分析得到推理；由运动规律求得位移即可得到克服重力做功的平均功率；根据在地球表面重力即万有引力，及在轨道上运行万有引力做向心力即可求得地球密度即运行周期．

解答 解：A、火箭竖直向上匀加速过程中加速度$a=\frac{v}{t}$，故由牛顿第二定律可知：合外力$F=ma=\frac{mv}{t}$，那么对火箭进行受力分析可得：火箭竖直向上匀加速过程中的推力$F′=F+G=\frac{mv}{t}+mg$，故A错误；
B、火箭竖直向上匀加速飞行的过程中位移$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}vt$，故克服重力做功$W=mgs=\frac{1}{2}mgvt$，那么，克服重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{1}{2}mgv$，故B错误；
C、物体在地球表面的重力即物体受到的万有引力，故有$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，所以，地球的平均密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，故C正确；
D、“墨子号”在最终轨道上绕地球做圆周运动，万有引力做向心力，故有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，所以，$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$，故D正确；
故选：CD．

点评 万有引力的应用，一般根据万有引力做向心力求得速率、周期与半径的关系，再根据牛顿第二定律得到卫星变轨时的加速度方向，进而得到推力方向及速度变化．