题目内容

9．如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个等量异种电荷的点电荷，电荷电量均为Q，其中A带正电荷，B带负电荷，D、C是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球P，质量为m、电荷量为+q（可视为质点），被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，O点在C点正上方．现在把小球P拉到M点，使细线水平绷直且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，小球P向下运动到最低点C时，速度为v，已知静电力常量为k，若取D点的电势为零，重力加速度为g，试求：
（1）在A、B所形成的电场中，MC两点间的电势差UMC；
（2）M点的电势ϕM；
（3）绝缘细线在C点所受到的拉力FT．

分析 （1）小球P从M运动到C的过程中，重力做正功，电场力做负功，电场力做功为qUMC，根据动能定理求解M、C两点的电势差UMC；
（2）根据DC所在直线是等量异种电荷的一根等势线，D、C两点的电势相等，即可求得M点的电势ϕM；
（3）小球到达N点时速度为零，圆周运动的向心力为零，即小球在N点沿细线方向合力为零，由此即可列式求解细线对小球的拉力FT．

解答 解：（1）小球P从M点→C点，由动能定理得：
  $mgL+q{U_{MC}}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得 ${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（2）DC所在直线是等量异种电荷的一根等势线，D、C两点的电势相等，则C点的电势为 ϕC=ϕD=0
因为UMC=ϕM-ϕC，则得 ϕM=${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（3）小球在C点受力如下图．

由几何知识得 θ=60°
由库仑定律有：${F_1}={F_2}=k\frac{Qq}{d^2}$
在C点，由牛顿第二定律得：${F_T}-mg-2{F_1}cosθ=m\frac{v^2}{L}$
则得 ${F_T}=mg+m\frac{v^2}{L}+\frac{kQq}{d^2}$（方向竖直向上）
答：
（1）在A、B所形成的电场中，MC两点间的电势差UMC是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（2）M点的电势ϕM是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（3）绝缘细线在C点所受到的拉力FT是mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$+$\frac{kQq}{{d}^{2}}$．

点评 本题考查电场中力与能的性质，要注意小球在拉力、重力及库仑力的作用下做圆周运动，应明确合力充当了向心力．

练习册系列答案
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D．跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化量成正比
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