如图所示.质量为M=0.4kg的铁板固定在一根轻弹簧上方.铁板的上表面保持水平．弹簧的下端固定在水平面上.系统处于静止状态．在铁板中心的正上方有一个质量为m=0.1kg的木块.从离铁板上表面高h=0.8m处自由下落．木块撞到铁板上以后不再分离.两者一起开始做简谐运动．木块撞到铁板上共同下降x1=2.0cm后.它们的共同速度第一次达到最大值．又继� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图所示，质量为M=0.4kg的铁板固定在一根轻弹簧上方，铁板的上表面保持水平．弹簧的下端固定在水平面上，系统处于静止状态．在铁板中心的正上方有一个质量为m=0.1kg的木块，从离铁板上表面高h=0.8m处自由下落．木块撞到铁板上以后不再分离，两者一起开始做简谐运动．木块撞到铁板上共同下降x₁=2.0cm后，它们的共同速度第一次达到最大值．又继续下降x₂=8.0cm后，它们的共同速度第一次减小为零．空气阻力忽略不计，g=10m/s²．求：
（1）若弹簧的弹力跟弹簧的形变量成正比，比例系数叫做弹簧的劲度系数，用k表示．求本题中弹簧的劲度系数k．
（2）木块和铁板碰撞后瞬间具有的共同速度为多少？
（3）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零过程中，弹簧的弹性势能增加了多少？
（4）在此后的振动过程中，铁板对木块的弹力的最小值N是多少（提示：简谐运动具有对称性，其振幅最大位置具有的加速度大小相等、方向相反）？

分析：（1）M静止时，根据平衡条件列式；速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，铁块与木块的合力为零，根据平衡条件列式；然后联立求解k．
（2）m先自由落体，根据动能定理或机械能守恒求出碰撞前的速度；碰撞过程动量守恒，根据守恒定律求解出碰后速度；
（3）根据碰后系统的机械能守恒定律求解弹性势能的增加量．
（4）当系统运动皮最高点时，铁板对木块的弹力最小．先根据牛顿第二定律求出系统运动到最低点时的加速度，根据对称性可知，系统运动到最高点时的加速度与最低点的加速度大小相等，方向相反，得到最高点的加速度，即可根据牛顿第二定律求解铁板对木块的弹力的最小值N．

解答：解：（1）设系统静止时系统弹簧的压缩量为x₀，则：kx₀=Mg，
共同速度最大时铁板与木块的合外力为零有：k（x₀+x₁）=（M+m）g
由以上两式解得：k=

0.1×10

0.02

N/m=50N/m．
（2）由机械能守恒得：mgh=

木块与铁板碰撞前瞬间的速度为：
v₀=

2gh

2×10×0.8

m/s=4 m/s
设两者在碰后的共同速度为v，由动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v
解得：v=

mv0

M+m

0.1×4

0.4+0.1

m/s=0.8m/s
（3）弹簧增加的弹性势能等于系统减少的动能和重力势能之和，有：
△E_p=

（M+m）v²+（M+m）g（x₁+x₂）=

（0.4+0.1）0.8²J+（0.4+0.1）×10×（0.02+0.08）J=0.66 J
（4）系统在最低点的加速度为：a=

F合

M+m

k(x0+x1+x2)-(M+m)g

M+m

=8m/s
根据简谐运动的对称性，系统运动到最高点的加速度大小也为a，且此时铁板对木块的弹力N为最小，取木块为研究对象，根据牛顿第二定律得：mg-N=ma
解得：N=m（g-a）=0.1（10-8）N=0.2N
答：（1）本题中弹簧的劲度系数k为50N/m．
（2）木块和铁板碰撞后瞬间具有的共同速度为0.8m/s．
（3）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零过程中，弹簧的弹性势能增加了0.66J．
（4）在此后的振动过程中，铁板对木块的弹力的最小值N是0.2N．

点评：本题关键明确m与M运动规律，同时结合动能定理、机械能守恒、动量守恒定律、平衡条件列方程后联立求解．