Question

1．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m、带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与X轴夹角为30°．此时在圆形区域加上如图（乙）所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同（与X轴夹角也为30°）．求：

（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（2）圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小以及碰场变化周期T．

Answer 1

分析 电子在电场中只受电场力，做类平抛运动．将速度分解，可求出电子进入圆形磁场区域时的速度大小．根据牛顿定律求出场强E的大小．电子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析电子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径，周期T各应满足的表达式．

解答 解：（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示．
由速度关系：$\frac{{v}_{0}}{v}=cos30°$，
解得：v=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$，
由速度关系得：${v}_{y}={v}_{0}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，
在竖直方向有：$a=\frac{eE}{m}$，${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$，
解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（2）在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，
粒子在x轴方向上的位移恰好等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
nR=2L
电子在磁场作圆周运动的轨道半径为：$R=\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3e{B}_{0}}$，
解得：${B}_{0}=\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$（n=1、2、3…）
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且 速度满足题设要求．应满足的时间条件：
$2n•\frac{1}{6}{T}_{0}=nT$
解得：${T}_{0}=\frac{2πm}{e{B}_{0}}$，
代入T的表达式得：T=$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1、2、3…）
答：（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小为$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（2）圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小表达式为${B}_{0}=\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$（n=1、2、3…）；碰场变化周期T=$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1、2、3…）

点评 本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．所加磁场周期性变化时，要研究规律，得到通项．