Question

6．如图所示，有一内表面光滑的金属盒，底面长为L=1.2m，质量为m₁=1kg，放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2，在盒内最右端放一半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m₂=1kg，现在盒的左端，给盒一个初速度v=3m/s（盒壁厚度，球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，g取10m/s²）求：金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间？

Answer 1

分析 球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，即发生了弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可求出碰后两者的速度，由于质量相等，每碰撞一次，两者就会交换速度，逐次分析碰撞间隙盒前进的位移，分析能发生几次碰撞，再根据动量定理求时间．

解答 解：因r=0.1m，则当盒前进s₁=1m时与球发生碰撞，设碰前盒的速度为v₁，碰后速度为v₁′，球碰后速度为v₂，则对盒，应用动能定理：
$-F{s}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，
解得v₁=1m/s
由于碰撞中动量守恒、机械能守恒，有：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
联立以上方程得：v₁′=0，v₂=1m/s．
当球前进1m时与盒发生第二次碰撞，碰撞前球的速度为1m/s，盒子的速度为0，碰撞后球的速度为0，盒子的速度变为v₂=1m/s，
以金属盒为研究对象，利用动能定理得：
-Fs₂=0-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}$，解得：s₂=0.125m．
所以不会再与球碰，
则盒子运动时间可由动量定理给出：设盒子前进s₁=1m所用时间为t₁，前进s₂=0.125m所用时间为t₂，则：
-Ft₁=m₁v₁-m₁v，
-Ft₂=0-m₁v₂，且v₁=v₂=1m/s
代入数据得：t₁=0.5s，t₂=0.25s
在盒两次运动之间还有一段时间t₃为小球在运动，t₃=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{2}}$=1s
则金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间t=t₁+t₂+t₃=1.75s
答：金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间为1.75s．

点评 解答本题要知道碰撞过程中动量、机械能守恒，且m₁=m₂，则碰撞时交换速度，且金属盒的初动能全部转化为内能，难度较大