Question

17．2014年9月24日，“曼加里安”号火星车成功进入火星轨道，印度成为了首个第一次尝试探索火星就成功的国家．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度g，地球的质量为火星质量的10倍，地球的半径为火星半径的2倍，求：
（1）火星表面的重力加速度g_火；
（2）求火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据重力与万有引力相等，由星球质量和半径关系求得火星表面的重力加速度；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得火星表面的第一宇宙速度．

解答 解：（1）设地球质量为M，半径为R，由星球表面重力和万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
重力加速度
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得火星表面的重力加速度${g}_{火}=G\frac{{M}_{火}}{{R}_{火}^{2}}=G\frac{\frac{1}{10}M}{（\frac{1}{2}R）^{2}}=\frac{2}{5}G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{2}{5}g$
（2）火星表面的卫星万有引力提供向心力
$m{g}_{火}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{火}}$
可得火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{{g}_{火}{R}_{火}}=\sqrt{\frac{2}{5}g×\frac{1}{2}R}$=$\sqrt{\frac{gR}{5}}$
答：（1）火星表面的重力加速度g_火为$\frac{2}{5}g$；
（2）求火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{gR}{5}}$．

点评 解决本题的关键是能由万有引力与重力相等求得重力加速度与星球质量和半径的关系，不难属于基础题．