题目内容
【题目】科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传送带
部分水平，其长度
，传送带以4m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径
，其下端
点与圆弧轨道
的
点在同一水平线上，
点为圆弧轨道的最低点，圆弧
对应的圆心角
且圆弧轨道的半径
，
点和倾斜传送带
的下端
点平滑连接，倾斜传送带长为
，其倾角。某同学将一质量为0．5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端
处，物块经过
点后恰能无碰撞地从点进入圆弧轨道部分，当经过点时，圆弧给物块的摩擦力
，然后物块滑上倾斜传送带。物块与圆弧
的动摩擦因数未知，与其它接触面间的动摩擦因数均为
，重力加速度
，
，
，
，
，求：
（1）物块由到所经历的时间；
（2）弧对应的圆心角
为多少；
（3）若要物块能被送到
端，倾斜传送带顺时针运转的速度应满足的条件及物块从端到端所用时间的取值范围。
【答案】（1）0.9s（2）45°（3）传送带的速度应满足：
，物体运动的时间范围是：
【解析】
（1）放在水平传送带上的物体受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛顿第二定律得：
所以：
物体加速到4m/s的时间：
在加速阶段的位移：
物体做匀速直线运动的时间：
物块由
到
所经历的时间：
；
（2）若物体能在点恰好离开传送带做平抛运动，则满足：
所以：
所以物体能够在点离开传送带做平抛运动，平抛运动的时间：
到达
点时物体沿竖直方向的分速度：
到达点时物体的速度与水平方向的夹角：
所以：
如图
即
弧对应的圆心角
为45°；
（3）当经过
点时，圆弧给物块的摩擦力
，所以物体在点受到的支持力：
物体在点时，支持力与重力的分力提供向心力得：
代入数据得：
物体在倾斜的传送带上受到重力、支持力和滑动摩擦力的作用，滑动摩擦力：
重力沿斜面向下的分力：
可知物体不可能相对于传送带静止，所以物体在传送带上将一直做减速运动，物体恰好到达
点时的速度为0。
Ⅰ、若传送带的速度大于等于物体在点的速度，则物体受到的摩擦力的方向向上，物体一直以不变的加速度向上做减速运动；此时：
，
物体的位移为：
即：
，
代入数据解得：
，（或
，该时间不合题意，要舍去）
Ⅱ、若传送带的速度小于物体在点的速度，则物体先相对于传送带向上运动，受到的摩擦力的方向向下；当物体的速度小于传送带的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物体继续向上做减速运动，加速度的大小发生变化。
设物体恰好能到达点时，传送带的速度是
，且
，物体到达点的速度为0。
物体的速度大于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向下，此时：
，
则：
物体的速度小于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向上，则：
物体位移为：
可得：
物体从点运动到点的总时间：
综合以上的分析可知，若要物体能够到达点，传送带的速度应满足：，物体运动的时间范围是：
