Question

（2011?吉安模拟）如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l₁=0.1m和l₂=0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B₁和B₂的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B₂=0.1T，B₁随时间变化的图象如图乙所示．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度 v=2×10⁶m/s不断沿y轴正方向射入磁场，已知带电粒子的电量q=-2×10^-8C，质量m=4×10^-16kg，不考虑磁场变化产生的电场及带电粒子的重力．求：
（1）在图乙中0～1s内，哪段时间从O发射的粒子能进入磁感应强度B₂的磁场？
（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是多少？
（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子在B₁磁场中运动时间极短，可视这极短时间内的磁场为恒定的匀强磁场，带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律列出等式，求出B₁，结合乙图即可求解；
（2）设粒子在B₂磁场中运动的半径为r₂，当B₁=0时，粒子打在MN上的A₁点为最左边的点．根据牛顿运动定律结合几何关系求得A₁点的横坐标，画出粒子运动图象若A₂为最右边点，则A₂为轨迹与边界MN的切点．过C₁点作速度方向的垂线，O₁为带电粒子在磁场B₁中运动的圆心，O₂为在磁场B₂中运动的圆心．由几何知识可得A₂点的横坐标；
（3）粒子轨迹与MN相切时，粒子在磁场中运动轨迹最长，时间也最长．由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，且轨迹左右对称，则粒子在磁场B₁中的运动时间即可求出，随着磁场B₁逐渐增大，带电粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当B₁达到最大值时，运动时间最短．

解答：解：（1）粒子在B₁磁场中运动时间极短，可视这极短时间内的磁场为恒定的匀强磁场，带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有
qvB1=m

v2

r

，当r=l₁时，B1=

mv

ql1

，代入数据得
B₁=0.4 T．    
由右图可知，当B₁=0.4T时，
t=t′=0.8s    
因此，0～0.8s时间内B₁的值小于0.4T，粒子运动半径大于l₁，这段时间从O发射的粒子将进入磁感应强度B₂的区域．
（2）设粒子在B₂磁场中运动的半径为r₂，当B₁=0时，粒子打在MN上的A₁点为最左边的点．根据牛顿运动定律得
qvB2=m

v2

r2

，
代入数据解得  r2=

mv

qB2

=0.4m
如右图几何关系可知  sinθ1=

l2

r2

=0.5
A₁点的横坐标为
x₁=r₂-r₂cosθ₁=(0.4-0.2

3

 )m    
下图中，若A₂为最右边点，则A₂为轨迹与边界MN的切点．过C₁点作速度方向的垂线，O₁为带电粒子在磁场B₁中运动的圆心，O₂为在磁场B₂中运动的圆心．由几何知识可得：
O₂C₂=r₂-（l₁+l₂）=0.1m
sinθ2=

l1+O2C2

r2

=0.5，即 θ₂=30°，
由此可得A₂点的横坐标x₂为：x₂=r₁（1-cosθ₂）+r₂cosθ₂
由几何知识可知此时 r₁=0.2m
解得：x2= ( 0.2+0.3

3

 )m
（3）粒子轨迹与MN相切时，粒子在磁场中运动轨迹最长，时间也最长．由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，且轨迹左右对称，则粒子在磁场B₁中的运动时间为t1=2×

θ2r1

v

=

π

3

×10-7s
粒子在磁场B₂中的运动时间为：t2=2

( π 2 -θ2)r2

v

=

4π

3

×10^-7 s     
带电粒子在磁场中运动的最长时间为t_max=t₁+t₂=5.2×10^-7s
随着磁场B₁逐渐增大，带电粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当B₁达到最大值时，运动半径为r1min=

mv

qBmax

=0.08m＜0.1m
此时带电粒子在B₁磁场中运动的时间为t1/=

πm

qB1

=

2π

5

×10-7s
若B₁=0时，带电粒子在B₁、B₂磁场中运动的总时间为t2/=

l1

v

+

θ1m

qB1

=1.55×10-7s＞t1/
所以带电粒子在磁场中的最短运动时间为
t₁′=1.26×10^-7s       
答：（1）0～0.8s时间内B₁的值小于0.4T，粒子运动半径大于l₁，这段时间从O发射的粒子将进入磁感应强度B₂的区域；
（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是(0.4-0.2

3

 )m到x2= ( 0.2+0.3

3

 )m之间；
（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是5.2×10^-7s，1.26×10^-7s

点评：粒子在磁场中的运动一定要注意找出圆心和半径，进而能正确的应用好几何关系，则可顺利求解！