Question

8．半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面积如图所示，O点为圆心，OO′与直径AB的垂直．足够大的光屏CD紧靠在玻璃砖的左侧且与AB垂直．一光束沿半径方向与OO′成 θ=30°射向O点，光屏CD区域出现两个光斑，两光斑间的距离为（$\sqrt{3}$+1）R．求：
①此玻璃的折射率
②当θ变为多大时，两光斑恰好变为一个．

Answer 1

分析 （1）光屏CD区域出现两个小光斑，一个是由于光的反射形成的，一个是光的折射形成的，作出光路图，由几何知识求出折射角，再根据折射定律求出折射率．
（2）为使光屏上只剩下一个光斑，必须使光线发生全反射．由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C，即得到入射角的最小值．

解答 解：（1）细光束在AB界面，一部分反射，另一部分折射，设折射角为β，光路图如图所示，

由几何关系得：${L}_{1}^{\;}=\frac{R}{tanθ}=\frac{R}{tan30°}=\sqrt{3}R$
根据题意两光斑间的距离为（$\sqrt{3}$+1）R
所以${L}_{2}^{\;}=R$
由几何关系知β=45°
根据折射定律，折射率$n=\frac{sinβ}{sinθ}=\frac{sin45°}{sin30°}=\sqrt{2}$
（2）若光屏CD上恰好只剩一个光斑，则说明该光束恰好发生全反射．由sinC=$\frac{1}{n}$得临界角为：
C=45°
即当θ≥45°时，光屏上只剩下一个光斑．
答：①此玻璃的折射率为$\sqrt{2}$
②当θ变为45°时，两光斑恰好变为一个．

点评 对于涉及全反射的问题，要紧扣全反射产生的条件：一是光从光密介质射入光疏介质；二是入射角大于等于临界角．要作出光路图，结合几何知识研究这类问题．