Question

如图所示，质量分别为m、2m的小球A、B，中间用轻弹簧相连，连接球A的轻绳悬于足够高的天花板上，现让球B自弹簧自然长度处由静止释放后，在竖直方向做振幅为x₀的简谐运动．当B球运动至最低点时剪断轻绳，经过时间t，A、B两球的加速度第一次相同，球A的速度为υ_A，重力加速度为g，求：
（1）此时B球的速度；
（2）球A下落的距离．

Answer 1

分析：（1）从剪断细线到两物体加速度相同过程，对A、B两球所组成的系统运用动量定理列式求解；
（2）剪断细线前，释放小球B后，小球B下降过程先加速下降后减速下降，机械能守恒；
剪断细线后两球和弹簧系统机械能守恒，根据守恒定律列式求解即可．

解答：解：（1）当B球运动至最低点时剪断轻绳，此时B球速度为零，经过时间t，A、B两球的加速度相同，说明弹簧处于自由长度，两球均由各自的重力提供的重力加速度g．
在此过程中，A、B两球所组成的系统由动量定理可知：
3mgt=mυ_A+2mυ_B
解得：υB=

1

2

(3gt-υA)
（2）根据机械能守恒定律，B球运动至最低点时弹簧所储存的弹性势能等于其重力势能的减小量，为：
E_p=2mg?2x₀=4mgx₀
在时间t内A、B两球的机械能守恒有：
4mgx0+mghA+2mg(hA-2x0)=

1

2

m

υ

2 A

+

1

2

?2m

υ

2 B

解得：hA=

υ 2 A +3g2t2-2gυAt

4g

答：（1）此时B球的速度为

1

2

(3gt-υA)；
（2）球A下落的距离

υ 2 A +3g2t2-2gυAt

4g

．

点评：本题关键明确剪断细线前后系统的运动情况和能量转化情况，难点在于对两个球系统运用动量定理列式分析．