Question

有一个带正电的小球，质量为m、电量为q，静止在固定的绝缘支架上．现设法给小球一个瞬时的初速度υ₀使小求水平飞出，飞出时小球的电量没有改变．同一竖直面内，有一个竖直固定放置的圆环（圆环平面保持水平），环的直径略大于小球直径，如图所示．要使小球能准确进入圆环，可在空间分布匀强电场或匀强磁场（匀强电场和匀强磁场可单独存在，也可同时存在），请设计两种分布方式，并求出：
（1）相应的电场强度E或磁感应强度B的大小和方向；
（2）相应的小球到圆环的时间t．（若加匀强电场，则匀强电场限制在竖直面内；若加匀强磁场，则匀强磁场限制在垂直纸面情况．已知υ₀＞

2gs

，小球受重力不能忽略）

Answer 1

分析：（1）方案1：加竖直向下方向分布的匀强电场E，可知小球做类平抛运动，水平做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．要使小球能准确进入圆环，小球的水平位移大小为2S，竖直位移大小为S，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出E；方案2：加竖直向上匀强电场，在与圆环中心相距S处加垂 直纸面向外的匀强磁场，合使电场力与重力平衡，使小球做匀速圆周运动，由几何关系得到半径，即可由牛顿第二定律求出磁感应强度的大小；
（2）电场中，由运动学公式求解时间；磁场中，根据轨迹的圆心角，即可求出时间与周期的关系，得到时间．

解答：解：方案1：
在竖直向下方向分布匀强电场E，则小球做类平抛运动，水平做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．则有
   水平方向：2S=v₀t  ①
   竖直方向：S=

1

2

ayt2 ②，mg+qE=ma ③
解得 t=

2S

v0

，E=

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

方案2：
加竖直向上匀强电场，在与圆环中心相距S处加垂 直纸面向外的匀强磁场（如图所示）
竖直方向           mg=qE
解得 E=

mg

q

带电小球从运动开始到进入磁场：t₁=

S

v0

进入磁场后带电小球在洛仑兹力作用下做圆周运动，由几何知识知，轨迹半径为R=S
则  qv₀B=m

v 2 0

R

得：B=

mv0

qS

    t₂=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πS

2v0

小球到达圆环总时间t=t₁+t₂=

S

v0

（1+

π

2

）    
答：方案1：在竖直向下方向分布匀强电场E，E大小为

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

，小球到圆环的时间t是

2S

v0

；方案2：加竖直向上匀强电场，在与圆环中心相距S处加垂 直纸面向外的匀强磁场，小球到达圆环总时间是

S

v0

（1+

π

2

）．

点评：本题是开放性的题目，只要答题方案合理就行，答案不是唯一的．本题是带电体在电场中类平抛、磁场中匀速圆周运动的问题，运用运动的分解法处理类平抛运动，画轨迹处理圆周运动问题，都是常用的方法和思路．