Question

如图所示，一质量为m₁的半圆形槽内内壁光滑，放在光滑水平面上，槽的左侧有一固定的木桩，阻止槽水平向左运动，槽的半径为R，今从槽左侧A端的正上方D处自由释放一个质量为m₂的小球，球恰好从A点自然进入槽的内壁轨道．试求：
（1）若D点到A点的高度为h₀，当小球到达槽的最低点的过程中木桩对槽的冲量；
（2）为了使小球沿槽的内壁恰好运动到槽的右端B点，D点到A点的高度h．

Answer 1

分析：（1）小球从D点至O′点的过程中，半圆形槽由于木桩的阻止不动，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，可求出小球到达半圆槽的最低点O′的速度．
对小球和槽整体，运用动量定理求解木桩对槽的冲量；
（2）当小球从半圆槽的最低点O′运动到B点的过程中，半圆槽由于小球的压力作用离开木桩，以半圆槽和小球组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒和机械能守恒，根据两大守恒列出方程，联立求解D点到A点的高度h．

解答：解：（1）设D点至A点的高度为h．小球从D处开始运动至O′的过程，只有重力做功，小球的机械能守恒，得：
m₂g（h₀+R）=

1

2

m

v

2 1

…①
解得：v₁=

2g(h0+R)

此过程，对小球和槽整体，水平方向运用动量定理得：I=m₂v₁=m₂

2g(h0+R)

（2）设小球从h高处下落，能恰好运动到槽的右端B点，经过O′点时的速度为v₂，小球从O′点运动到B点，此时小球和槽有共同速度v_B，对槽和小球系统而言，只有重力做功，可得：
m₂g（h+R）=

1

2

m2

v

2 2

 …②
-m₂gR=

1

2

（m₁+m₂）

v

2 B

-

1

2

m2

v

2 2

…③
该阶段，系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，故有：
m₂v₂=（m₁+m₂）v_B …④
联立以上三式，解得：h=

m2

m1

R
答：
（1）若D点到A点的高度为h₀，当小球到达槽的最低点的过程中木桩对槽的冲量是m₂

2g(h0+R)

；
（2）为了使小球沿槽的内壁恰好运动到槽的右端B点，D点到A点的高度为h为

m2

m1

R．

点评：本题是系统的动量守恒与机械能守恒问题，关键是分析物理过程，寻找解题规律．