Question

19．如图，两个滑块A和B的质量分别为m_A=1kg和m_B=5kg，放在静止与水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ₁=0.5；木板的质量为m=4kg，与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.1．某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v₀=3m/s．A、B相遇时，A与木板恰好相对静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s²．求
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离．

Answer 1

分析 （1）刚开始运动时，根据牛顿第二定律分别求出A、B和木板的加速度大小，结合速度时间公式先求出B与木板共速时的速度以及运动的时间，然后B与木板保持相对静止，根据牛顿第二定律求出B与木板整体的加速度，结合速度时间公式求出三者速度相等经历的时间以及此时的速度．
（2）根据位移公式分别求出B与木板共速时木板和B的位移，从而得出两者的相对位移，得出此时A的位移以及A相对木板的位移大小，再结合位移公式分别求出三者速度相等时，A的位移以及木板的位移，得出A再次相对木板的位移，从而得出A、B开始运动时，两者之间的距离．

解答 解：（1）对A受力分析，根据牛顿第二定律得：μ₁m_Ag=m_Aa_A
代入数据解得：${a}_{A}=5m/{s}^{2}$，方向向右，
对B分析，根据牛顿第二定律得：μ₁m_Bg=m_Ba_B
代入数据解得：${a}_{B}=5m/{s}^{2}$，方向向左．
对木板分析，根据牛顿第二定律得：μ₁m_Bg-μ₁m_Ag-μ₂（m+m_A+m_B）g=ma₁
代入数据解得：${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$，方向向右．
当木板与B共速时，有：v=v₀-a_Bt₁=a₁t₁，
代入数据解得：t₁=0.4s，v=1m/s，
（2）此时B相对木板静止，突变为静摩擦力，A受力不变加速度仍为5m/s² ，方向向右，
对B与木板受力分析，有：μ₁m_Ag+μ₂（m+m_A+m_B）g=（m+m_B）a₂
代入数据解得：${a}_{2}=\frac{5}{3}m/{s}^{2}$，方向向左，
当木板与A共速时有：v′=v-a₂t₂=-v+a_At_2：
代入数据解得：t₂=0.3s，v′=0.5m/s．
当t₁=0.4s，${x}_{B}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}=\frac{3+1}{2}×0.4m=0.8m$，${x}_{木}=\frac{0+v}{2}{t}_{1}=\frac{0+1}{2}×0.4m=0.2m$
L_B板=x_B-x_木=0.8-0.2m=0.6m，
对A，向左，${x}_{A}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}=\frac{3+1}{2}×0.4m=0.8m$，
L_A1板=x_A+x_木=0.8+0.2m=1m，
当t₂=0.3s，对A，向左，${x}_{A1}=\frac{v-v′}{2}{t}_{2}=\frac{1-0.5}{2}×0.3m=\frac{3}{40}m$，
对木板，向右，${x}_{木1}=\frac{v+v′}{2}{t}_{2}=\frac{1+0.5}{2}×0.3m=\frac{9}{40}m$，
${L}_{A2板}={x}_{A1}+{x}_{木1}=\frac{3}{40}+\frac{9}{40}m=0.3m$，
可知AB相距L=L_B板+L_A1板+L_A2板=0.6+1+0.3m=1.9m．
答：（1）B与木板相对静止时，木板的速度为1m/s；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离为1.9m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清整个过程中A、B和木板在整个过程中的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解．