Question

20．如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
（1）小球在最高点A时速度v_A为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？
（3）如m=0.5kg，L=0.5m，v_A=0.4m/s，则在最高点A和最低点B时，杆对小球m的作用力各是多大？是推力还是拉力？

Answer 1

分析 在最高点和最低点，小球的重力和杆对小球的作用力的合力提供向心力，根据向心力公式列式分析即可求解．

解答 解：（1）若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆周运动的向心力由重力mg提供，有：
$mg=\frac{{m{v_A}^2}}{L}$
解得：${v_A}=\sqrt{Lg}$
（2）若小球m在最高点A时受拉力F，则有：
$F+mg=m\frac{{{v^2}_1}}{L}$
解得：${v_1}=\sqrt{gL+\frac{FL}{m}}＞\sqrt{Lg}$
若小球m在最高点A时受推力F，有：
则$mg-F=m\frac{{{v_2}^2}}{L}$
解得：${v_2}=\sqrt{Lg-\frac{FL}{m}}＜\sqrt{Lg}$
可见${v_A}=\sqrt{Lg}$是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度．
（3）杆长L=0.5m时，临界速度${v_临}=\sqrt{Lg}=\sqrt{0.5×10}$m/s=2.2 m/s，v_A=0.4m/s＜v_临，杆对小球有推力F_A．
由$mg-{F_A}=m\frac{{{v_A}^2}}{L}$
解得：${F_A}=mg-m\frac{{{v_A}^2}}{L}$=（$0.5×10-\frac{{0.5×{{0.4}^2}}}{0.5}$）N=4.84N，
由A到B只有重力做功，机械能守恒，设B点所处水平面为参考面，
则有$\frac{1}{2}m{v_A}^2+mg•2L=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
解得：${v_B}=\sqrt{{v_A}^2+4gL}=\sqrt{{{0.4}^2}+4×10×0.5}$m/s=4.5m/s，
在最低点B，小球m受拉力F_B，由${F_B}-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{L}$
解得${F_B}=mg+m\frac{{{v_B}^2}}{L}=（0.5×10+\frac{{0.5×{{4.5}^2}}}{0.5}）$N=25.3N
答：（1）小球在最高点A时速度v_A为$\sqrt{Lg}$时，才能使杆对小球m的作用力为零；
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是$\sqrt{Lg}$；
（3）如m=0.5kg，L=0.5m，v_A=0.4m/s，则在最高点A点是推力，大小为4.84N，最低点B时是拉力，大小为25.3N．

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，关键搞清向心力的来源，难度不大，属于基础题．