Question

如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动．弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v₀需满足什么条件？
（2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
（3）若v₀=3m/s，小球最终停在何处？

Answer 1

分析：（1）小球离开d后做平抛运动，根据几何关系可知，只要下落3R过程水平位移超过R即碰不到轨道，然后利用动能定理即可求解．
（2）在c点对小球进行受力分析，依据向心力公式列方程，然后结合动能定理即可求解．
（3）先判断小球能否通过d点，若能通过根据平抛规律求解，若不能，根据功能关系求解．

解答：解：（1）设小球到达d点处速度为v_d，由动能定理，得：
-mgμL-4mgR=

1

2

m 

v

2 d

-

1

2

m

v

2 0

    ①
如小球由d点做平抛运动刚好经过图中的O点，则有
3R=

1

2

gt2          ②
R=v_dt            ③
联立①②③并代入数值得：v0=

79 6

≈

13.1

m/s．
小球的初速度v₀需满足：v0＞

13.1

m/s
故要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v₀需满足条件为：v0＞

13.1

m/s
（2）设小球到达c点处速度为v_c，由动能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

m

v

2 c

 -

1

2

m

v

2 0

      ④
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得：F+mg=m

v 2 c

R

    ⑤
要使轨道对地面的压力为零，则有：F=Mg        ⑥
联立④⑤⑥并代入数值，解得小球的最小速度：v₀=6 m/s  
故当v₀至少为6m/s时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
（3）小球能通过d点，需满足v_d≥0，由动能定理：
-mgμL-4mgR=0-

1

2

m

v

2 0

得：v0=

13

m/s．
因v0=3m/s＜

13

m/s，小球过不了d点而沿轨道原路返回，对整个过程由动能定理，有：
-μmgx=0-

1

2

m

v

2 0

得：x=2.25m
故小球最终停在a右侧0.25m处．

点评：竖直平面的圆周运动往往结合能否完成圆周运动的临界条件以及平抛运动进行考查，解题思路是正确受力分析列向心力方程，然后结合功能关系求解．