Question

（2011?上海模拟）如图（1）所示是根据某平抛运动轨迹制成的内壁光滑的圆管轨道，轨道上端与水平面相切．实验得到进入圆管上端时的水平速度v₀的平方和离开圆管时速度的水平分量v_x的平方的关系如图（2）所示．一质量为m=0.4kg、体积很小的滑块静止在距离管口L=1m处，滑块与水平面间的动擦因数为μ=0.2．（g=10m/s²）

（1）当滑块以水平速度v₀=8m/s从轨道进入后，离开轨道时的水平速度是多大？
（2）用大小为F=5N的水平恒力在水平面上拉动滑块一段距离x后撤去F，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，求x的取值范围．
（3）当滑块以水平速度v₀=3m/s从轨道顶端进入后，当其到达轨道底部时的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）由图象（2）得到滑块平速度v₀的平方和离开圆管时速度的水平分量v_x的平方的关系式，将v₀=8m/s代入求解离开轨道时的水平速度；
（2）水平恒力在水平面上拉动滑块的过程，根据动能定理列式得到滑块进入管道时水平速度v，由图象（2）知，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，应满足0＜v＜4m/s，联立解出x的取值范围．
（3）滑块在管道中运动过程机械能守恒，结合图象，求解到达轨道底部时的速度．

解答：解：（1）由图象（2）得
 

v

2 x

=8+

1

2

v

2 0

当v₀=8m/s时，v_x=

8+ 1 2 ×82

=2

10

m/s
（2）根据动能定理得
  Fx-μmgL=

1

2

mv2
由图象（2）知，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，应满足0＜v＜4m/s，
联立解得：x的取值范围为0.16m＜x＜0.8m
（3）滑块在管道中运动过程机械能守恒，则有
 

1

2

mv2=mgh+

1

2

m

v

2 0

得 v2=2gh+

v

2 0

设v=nv_x，则得
  (nvx)2=2gh+

v

2 0

解得，v_x=

2gh

n2

+

v 2 0

n2

由图象可得

1

n2

=

1

2

，

2gh

n2

=8
则得v2=8+

v

2 0

得 v=

16+ v 2 0

=

16+9

=5m/s
答：（1）当滑块以水平速度v₀=8m/s从轨道进入后，离开轨道时的水平速度是2

10

m/s．
（2）x的取值范围为0.16m＜x＜0.8m．
（3）滑块到达轨道底部时的速度大小是5m/s．

点评：本题关键是运用数学知识解决物理问题，充分利用图象的信息，结合机械能守恒和数学知识进行求解．