Question

如图所示，一根均质绳质量为M，其两端固定在天花板上的A、B两点，在绳的中点悬挂一重物，质量为m，悬挂重物的绳PQ质量不计．设α、β分别为绳子端点和中点处绳子的切线方向与竖直方向的夹角，则

tanα

tanβ

=

 

．

Answer 1

分析：以整体为研究对象，根据平衡条件分析端点处对绳子的拉力与总重力的关系式；对左半边绳子研究，得到端点和中点绳子的拉力的关系式；再采用比例法求解．

解答：解：设绳子端点处和中点处绳子张力大小分别为F₁、F₂．对整体研究，分析受力，如上图所示，根据平衡条件得：F₁cosα=

1

2

（M+m）g…①
对左半边绳子研究得：
F₁cosα=F₂cosβ+

1

2

Mg…②
F₁sinα=F₂sinβ…③
由①②得到：F₂cosβ=

1

2

mg…④
则由③：①得：tanα=

2F2sinβ

(M+m)g

…⑤
由③：④得：tanβ=

2F1sinα

mg

…⑥
所以由③⑤⑥联立得：

tanα

tanβ

=

m

M+m

故答案为：

m

M+m

点评：本题是力平衡问题，难点存在如何选择研究对象和如何运用数学知识变形求解．