Question

（2011?安徽模拟）如图所示，在平面直角坐标系XOY内，第I象限存在沿Y轴正方向的匀强电场，第IV象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小设为B₁（未知），第III象限内也存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场B₂（未知）．一质量为m的电子（电量为e，不计重力），从Y轴正半轴上Y=h处的M点，以速度v₀垂直于Y轴射入电场，经X轴上X=

2 3

3

h处的P点进入第IV象限磁场，然后从Y轴上Q点进入第III象限磁场，OQ=OP，最后从O点又进入电场．
（1）求匀强电场的场强大小E；
（2）求粒子经过Q点时速度大小和方向；
（3）求B₁与B₂之比为多少．

Answer 1

分析：（1）电子在电场中做类平抛运动，水平位移和竖直位移均已知，由牛顿第二定律和运动学公式，运用运动的分解法可求出场强大小E．
（2）由速度的合成法求出电子进入第IV象限磁场时的速度大小和方向，由几何知识确定粒子经过Q点时的方向．电子在磁场中速度的大小不变．
（3）由几何知识分别求出电子在两种磁场中运动的轨迹半径，由半径公式即可求出B₁与B₂之比．

解答：解：（1）电子在电场中做类平抛运动，则
     x=v0t=

2

3

3

h
      h=

1

2

at2
又由牛顿第二定律得 a=

eE

m

解得：E=

3mv02

2eh

（2）画出电子在磁场中运动的轨迹图，
vy=at=

3

v0
∴v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0
tanθ=

vy

v0

=

3

∴θ=60
∴∠OPO₁=30°     又∵OQ=OP
由几何关系得∠OQO₁=∠OPO₁=30°
∴粒子到达Q点时速度方向与y轴正向成60°
（3）由几何关系得  r1cos30°+r1sin30°=op=

2

3

3

h
∴r1=(2-

2

3

3

)h
又r1=

mv

eB1

=

2mv0

eB1

进入B₂后，
由几何关系得：2r2cos30°=OQ=OP=

2

3

3

h
∴r2=

2

3

h
又r2=

2mv0

eB2

∴

B1

B2

=

r2

r1

=

3+ 3

6

答：
（1）匀强电场的场强大小E是

3m v 2 0

2eh

；
（2）粒子经过Q点时速度大小为2v₀，方向与y轴正向成60°；
（3）B₁与B₂之比为

3+ 3

6

．

点评：本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，画出轨迹，运用几何知识求出电子的轨迹半径是解题的关键，同时要抓住几个过程之间的联系，比如速度关系、位移关系等