Question

（2008?武汉二模）如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上）．匀强磁场方向与Oxy平面平行，且与x轴的夹角为60°，重力加速度为g．一质量为m、电荷量为+q的带电质点沿平行于z轴正方向以速度v₀做匀速直线运动．

（1）求电场强度的最小值E_min及对应的磁感应强度B；
（2）若电场强度为最小值E_min，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，求带电质点落在Oxz平面内的位置．

Answer 1

分析：（1）若质点做直线运动，则一定是匀速直线运动，因为洛伦兹力受到速度的影响，所以三力处于平衡状态，根据力的合成与分解可列出洛伦兹力与重力的关系、电场力与重力的关系，从而确定电场强度的大小与方向；
（2）若撤去磁场，当带电质点P点射入时，只受到重力与电场力共同作用，质点做类平抛运动，根据平抛运动处理规律来确定质点的位置．

解答：解：（1）如图答1所示，带电质点受到重力mg（大小及方向均已知）、洛伦兹力qv₀B（方向已知）、电场力qE（大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动．根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E_min．根据物体的平衡规律有

  qE_min=mgsin60°①
  qv₀B=mgcos60°②
由①②得：Emin=

3 mg

2q

，B=

mg

2qv0

．
（2）如图答2所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力沿PM方向并与v₀方向垂直，大小等于qv₀B，故带电质点在与Oxz平面成30°角的平面内作类平抛运动．

由牛顿第二定律  qv₀B=ma  ③
解得：a=0.5g．
设经时间t到达Oxz平面内的点N（x，y，z），由运动的分解可得
沿v₀方向  z=v₀t ④
沿PM方向  PM=

1

2

at2 ⑤
又  PM=

h

sin30°

 ⑥
   x=hcot30°⑦
联立③～⑦解得：x=

3

h，z=2v0

2h g

所以，带电质点落在N（

3

h，0，2υ0

2h g

）点（或带电质点落在Oxz平面内x=

3

h，z=2v0

2h g

的位置）．
答：（1）电场强度的最小值E_min是

3 mg

2q

，对应的磁感应强度B是

mg

2qv0

；
（2）若电场强度为最小值E_min，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，带电质点落在N（

3

h，0，2υ0

2h g

）点（或带电质点落在Oxz平面内x=

3

h，z=2v0

2h g

的位置）．

点评：当质点做直线运动时，则有电场力、洛伦兹力与重力处于平衡状态，否则不可能做直线运动，原因是洛伦兹力受到速度的影响；当只受到电场力与重力时，若初速度与两力的合力相垂直，则做类平抛运动．