Question

如图甲所示，带正电粒子以水平速度v₀从平行金属板MN间中线连续射入电场中。MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压u_MN，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕。金属板间距为d，长度为l，磁场B的宽度为d。已知：B=5×10^-3T，l = d =0.2m，每个带正电粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷为q/m=10⁸C/T，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。

试求：

（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径？

（2）带电粒子射出电场时的最大速度？

（3）带电粒子打在屏幕EF上的范围？

Answer 1

（1）0.2m （2）（3）0.38m

解析:

（1）t=0时刻射入电场的带电粒子粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小。

粒子在磁场中运动时                ---------2分

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径

    --------2分

其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示。

（2）设两板间电压为U₁，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有

                          ------2分

     代入数据，解得   U₁=100V                ------2分

    在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为，则有

                          -----2分

     解得       -------2分

（3）由第（1）问计算可知，t=0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径

 ，径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则    --------2分

   带电粒子射出电场时的速度最大，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为，打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示。

                   -------2分

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径

--------2分

   由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上。   则    -------2分

      带电粒子打在屏幕EF上的范围为------2分