Question

如图所示，竖直放置的质量为4m、长为L的圆管顶端塞有一个可看作质点的弹性圆球，弹性圆球的质量为m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由下落，落地后向上弹起的速度与落地速度大小相等．试求：
（1）圆管底端落地前瞬间的速度；
（2）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件．
（3）圆管上升的最大高度是多少？

Answer 1

（1）取竖直向下为正方向，则：
根据v02=2gH得，
圆管第一次碰地前的瞬时速度v₀=

2gH

，方向竖直向下
（2）碰地后瞬间，管的速度v_管=-

2gH

，球的速度v_球=

2gH

．球相对管的速度v_相=2

2gH

．
碰后，管受重力作用及向下的摩擦力作用，加速度a_管=2g；球受重力和向上的摩擦力作用，加速度a_球=-3g．球相对管的加速度a_相=-5g．
以管为参考系，则球与管相对静止前，球相对管下滑的距离为：
s_相1=

0-v相2

2a相

=

-(2 2gH )2

2×(-5g)

=

4

5

H
要使球不滑出圆管，应满足：L＞s_相1=

4

5

H
（3）设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t₁（设球与管这段时间内摩擦力方向不变），则：
t₁=

v管

a管

=

2gH

2g

．
设管从碰地到与球相对静止所需的时间为t₂，则：
t₂=

v相

a相

=

2 2gH

5g

．
因为t₁＞t₂，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升到最高点．设球和管达相对静止时的高度为h′，共同速度为v′，则：
h′=v_管t₂-

1

2

a_管t12=

12

25

H
v′=v_管-a_管t₂=

1

5

2gH

此后，球和管以初速度v′竖直上抛．设再上升的高度为h″，则：
h″=

v′2

2g

=

1

25

H
因此，管上升的最大高度H′=h′+h″=

13

25

H．
答：（1）圆管底端落地前瞬间的速度为

2gH

，方向竖直向下．
（2）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足L＞

4

5

H．
（3）圆管上升的最大高度是

1

25

H．