题目内容

6．如图所示，一长为L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场．磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度v0垂直于左边界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在水平面内自由运动，最后从左边界飞离磁场．设运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力，不计重力．求：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系；
（3）小球飞离磁场时速度的方向．

分析 （1）小球在管中的运动情况：小球随管向右匀速运动时，洛伦兹力竖直向上的分力大小不变，小球沿管向上做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出小球竖直向上的分速度，再与管速合成即可求出小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，水平方向受到的洛伦兹力的分力与外力平衡，由速度公式求出小球竖直向上的分速度与时间的关系，得到洛伦兹力的水平分力与时间的关系，即得到外力与时间的关系．
（3）小球离开管子后在磁场中做匀速圆周运动．先先求出球随管向右的位移，由牛顿第二定律得到小球在磁场中圆周运动的半径，由数学知识求出小球飞离磁场时速度的方向与水平方向的夹角．

解答 解：（1）如图所示，小球管中运动的加速度为：
 a=$\frac{{F}_{y}}{m}$=$\frac{q{v}_{0}B}{m}$…①
设小球运动至b端时的y方向速度分量为vy，
则：vy2=2aL…②
又：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…③
由①～③式，可解得小球运动至b端时速度大小为：
v=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}BL}{m}+{v}_{0}^{2}}$…④
（2）由平衡条件可知，玻璃管受到的水平外力为：
  F=Fx=Bvyq…⑤
  vy=at=$\frac{q{v}_{0}B}{m}$t…⑥
由⑤～⑥式可得外力随时间变化关系为：F=$\frac{{q}^{2}{v}_{0}{B}^{2}}{m}$t…⑦
（3）设小球在管中运动时间为t0，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，轨迹如图所示，
t0时间内玻璃管的运动距离 x=v0t0…⑧L=$\frac{1}{2}$at02…⑨
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑩
由几何关系得：sinα=$\frac{x-{x}_{1}}{R}$…（11）$\frac{{x}_{1}}{R}$=$\frac{{v}_{y}}{v}$…（12）
由①～②、⑧～（12）式可得：sinα=0，
故α=0°，即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．
答：（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小是$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}BL}{m}+{v}_{0}^{2}}$；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系是：F=$\frac{{q}^{2}{v}_{0}{B}^{2}}{m}$t；
（3）小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．

点评 本题的解题方法有特殊，对小球在磁场中的运动进行分解，要注意洛伦兹力与之对应的分速度关系，运用左手定则判断．同时，要充分运用几何知识分析小球的运动轨迹．

练习册系列答案
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