Question

12．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙．一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力．设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球在同心圆轨道内运动过程中，机械能一定减小
• B． 若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为mgR
• C． 若小球在运动过程中机械能守恒，则v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v₀一定大于$\sqrt{4gR}$

Answer 1

分析 内圆粗糙，小球与内圆接触时要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，机械能不守恒；外圆光滑，小球与外圆接触时不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律分析答题．

解答 解：A、若小球运动的速度较大，小球运动过程中不与内圆接触，与外圆接触，则运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，故A错误．
B、若初速度v₀比较小，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减少，经过足够长时间，小球最终在圆心下方运动，最大的机械能为mgR，故B正确．
C、若小球在运动过程中机械能守恒，临界情况是最高点靠重力提供向心力，根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，$v=\sqrt{gR}$，根据机械能守恒知，$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得${v}_{0}=\sqrt{5gR}$，可知v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$，故C正确．
D、如果内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低点时的速度${v}_{0}=\sqrt{4gR}$，由于内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度v₀一定大于$\sqrt{4gR}$，故D正确．
故选：BCD．

点评 本题的关键是理清运动过程，抓住临界状态，明确最高点的临界条件，运用机械能守恒定律和向心力知识结合进行研究．