Question

有一个摆长为L的单摆，它的摆球质量为m，从与竖直方向成θ的位置无初速开始运动，重力加速度为g，以平衡位置所在的水平面为参考平面，求：
（1）单摆的总机械能；
（2）摆球经过最低点时的速度；
（3）在偏角很小的情况下，从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间．

Answer 1

分析：（1）单摆的机械能等于动能与势能之和．分别求出动能和势能的大小，从而得出机械能．
（2）根据机械能守恒定律求出摆球摆动最低点的速度．
（3）根据单摆的周期公式求出从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间．

解答：解：（1）以平衡位置所在的水平面为参考平面，初位置的动能E_K=0，重力势能E_P=mgL（1-cosθ）．
所以E=E_K+E_P=mgL（1-cosθ）．
故单摆的总机械能为mgL（1-cosθ）．
（2）根据机械能守恒定律得，mgL（1-cosθ）=

1

2

mv2
解得v=

2gL(1-cosθ)

故摆球经过最低点时的速度为

2gL(1-cosθ)

．
（3）单摆完成一次全振动的时间T=2π

L g

则t=

T

4

=

π

2

L g

．
故从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间为

π

2

L g

．

点评：解决本题的关键掌握单摆的周期公式，以及掌握机械能守恒定律解题的方法．