Question

3．光滑水平桌面上有一轻弹簧，用质量m=0.4kg的小球将弹簧缓慢压缩，释放后物块从A点水平抛出，恰好由P点沿切线进入光滑圆管轨道MNP（圆管略大于小球），已知圆管轨道为半径R=0.8m，且圆管剪去了左上角135°的圆弧，P点到桌面的水平距离是R，竖直距离也是R，MN为竖直直径，g=10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）释放时弹簧的弹性势能；
（2）小球能否通过M点？如能通过，求出在该点对管的压力．

Answer 1

分析 （1）物体恰好无碰撞落到P点，其竖直分速度可以根据落体规律求解，然后根据速度偏转角求解水平分速度并得到P点速度，然后根据机械能守恒定律求解A点速度；对释放小球的过程运用动能定理列式，联立方程组求解；
（2）先根据A到M过程机械能守恒列式，若能过最高点列式，最后联立方程组求解即可．

解答 解：（1）设物块由A点以初速v_A做平抛，落到P点时其竖直速度为：${v}_{y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s
由于$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}=tan45°$，解得v_A=4m/s
设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，则弹簧的弹性势能转化为物块的动能，则：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.4×{4}^{2}=3.2$J
（2）由题意可知，A到M的过程中只有重力做功，满足机械能守恒，若能到达M点，则：
$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}+mg（R+Rcos45°-R）$
代入数据得：v_M=2.165m/s
物块能通过M点，设轨道对物块的支持力的方向向上，重力与支持力的合力提供向心力，则：
$mg-{F}_{N}=\frac{m{v}_{M}^{2}}{R}$
代入数据得：F_N=1.656N
根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力方向向下，大小为1.656N．
答：（1）释放时弹簧的弹性势能是3.2J；（2）小球能通过M点，物块在该点对管的压力是1.656N．

点评 该题中，物块的运动包含水平面上的运动、平抛运动以及在圆轨道内的运动，解答本题关键要分析清楚物体的运动规律，然后多次运用机械能守恒定律列式，最后联立方程组求解即可．