Question

11．如图所示，金属板的右侧存在两种左右有理想边界的匀强磁场，磁场的上边界AE与下边界BF间的距离足够大．ABCD区域里磁场的方向垂直于纸面向里，CDEF区域里磁场的方向垂直于纸面向外，两区域中磁感应强度的大小均为B，两磁场区域的宽度相同．当加速电压为某一值时，一电子由静止开始，经电场加速后，以速度v₀垂直于磁场边界AB进入匀强磁场，经t=$\frac{πm}{2eB}$的时间后，垂直于另一磁场边界EF离开磁场．已知电子的质量为m，电荷量为e．求：
（1）每一磁场的宽度d；
（2）若要保证电子能够从磁场右边界EF穿出，加速度电压U至少应大于多少？
（3）现撤去加速装置，使ABCD区域的磁感应强度变为2B，使电子仍以速率v₀从磁场边界AB射入，可改变射入时的方向（其它条件不变）．要使得电子穿过ABCD区域的时间最短时，求电子穿过两区域的时间t．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动，根据时间与周期的关系求得轨迹对应的圆心角，由洛仑兹力提供向心力得到轨迹半径，再由几何关系求解磁场的宽度d．
（2）电子恰好不从EF边穿出磁场，其轨迹应和CD相切，得到半径，求出速度大小，再由动能定理求加速电压U．
（3）若要电子穿过ABCD区域的时间最短，则需要电子对称地穿过ABCD区域，作图轨迹，得到电子在两区域的半径关系，由轨迹的圆心角求解时间值．

解答 解：（1）电子在每一磁场中运动的时间为t₁=$\frac{t}{2}$=$\frac{πm}{4eB}$=$\frac{T}{8}$
故电子的在磁场中转过$\frac{π}{4}$   

电子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，即evB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由图可知 d=rsin45°    
解得 d=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2eB}$
（2）若电子恰好不从EF边穿出磁场，电子应和CD相切，在ABCD区域中转半圈后从AB边离开磁场，设此时对应的电压为U，电子进入磁场时的速度为v，则
 evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由几何关系有 R=d
电子在加速电场中运动时，由动能定理有
 eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4e}$
（3）若要电子穿过ABCD区域的时间最短，则需要电子对称地穿过ABCD区域，作图   
电子在两区域的半径关系 r₂=2r₁=2$\frac{mv}{e•2B}$=$\frac{mv}{eB}$
由sinθ=$\frac{d}{2{r}_{1}}$   
解得 θ=45°

第一段时间 t₁=$\frac{2θ}{2π}$T=$\frac{πm}{4eB}$
在区域CDEF中的圆心必在EF边上（如图内错角）Φ=θ  
第二段时间 t₂=$\frac{Φ}{2π}$T′=$\frac{πm}{4eB}$
通过两场的总时间t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$
答：
（1）每一磁场的宽度d为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2eB}$；
（2）若要保证电子能够从磁场右边界EF穿出，加速度电压U至少应大于$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4e}$．
（3）电子穿过两区域的时间为$\frac{πm}{2eB}$．

点评 带电粒子在磁场中运动问题，关键要定圆心、定半径，画轨迹，运用几何知识求轨迹半径．对于时间常常根据轨迹的圆心角求解．