题目内容

14．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R1，周期为T1，已知万有引力常为G．求：
（1）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度；
（2）通过天文观测，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量．

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出行星的质量，第一宇宙速度等于贴近行星表面做匀速圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力求出行星的第一宇宙速度．
（2）因为行星周围的卫星均匀分布，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力求出行星和其它卫星的总质量，从而得出靠近行星周围众多卫星的总质量．

解答 解：（1）由$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$         ①
得该行星质量$M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$      ②
由　$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$　       ③
得第一宇宙速度：v=$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}\sqrt{\frac{{R}_{1}}{R}}$     ④
（2）因为行星周围的卫星均匀分布，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，由$\frac{G{M}_{总}m}{{{R}_{2}}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$    ⑤
得行星和其它卫星的总质量${M}_{总}=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$     ⑥
所以靠近该行星周围的众多卫星总质量 $△M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}-\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$         ⑦
答：（1）行星的第一宇宙速度为$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}\sqrt{\frac{{R}_{1}}{R}}$；
（2）靠近行星周围众多卫星的总质量为 $\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}-\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．

点评 解决本题的关键理解第一宇宙速度的意义，掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用．

练习册系列答案
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