Question

9．质量为M=3kg平板车放在光滑的水平面上，在平板车的最左端有一小物块（可视为质点），物块的质量为m=1kg，平板车与小物块间的动摩擦因数为μ=0.5，小车左端上方如图固定着一障碍物A，如图所示，初始时，平板车与物块一起以水平速度v₀=2m/s向左运动，当物块运动到障碍物A处时与A发生无机械能损失的碰撞，而小车可继续向左运动．取重力加速度g=10m/s²．
（1）设平板车足够长，求物块与障碍物第一次碰撞后，物块与平板车所能获得的共同速率；
（2）要使物块不会从平板车上滑落，平板车至少应为多长？
（3）若物块未从平板车上滑落，求小物块与障碍物A第四次碰撞到第五次碰撞过程中，小物块经过的路程？

Answer 1

分析 （1）物块与障碍物碰后物块和小车系统动量守恒，根据动量守恒定律求出物块与障碍物第一次碰撞后，物块与平板车所能获得的共同速率．
（2）物块多次与障碍物碰撞后，最终与平板车同时停止．根据能量守恒定律求出平板车的最小长度．
（3）根据动量守恒定律求出第三次碰撞后的速度，抓住第四次碰撞后，小物块先向右做匀减速直线运动到零，再向左做匀加速，最终匀速，结合牛顿第二定律和运动学公式求出小物块通过的路程．

解答 解：（1）物块和障碍物碰后，物块和小车系统动量守恒，规定向左为正方向，有：Mv₀-mv₀=（M+m）v，
代入数据解得v=1m/s．
（2）物块多次与障碍物碰后，最终与平板车同时停止，设物块在平板车上运动的距离为l，那么由系统能量守恒有：
$μmgl=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得l=1.6m．
所以要使物块不滑出平板车，平板车长度至少为1.6m．
（3）物块第一次与障碍物碰后向右减速到零再向左加速直到再次与平板车达到高速，规定向左为正方向，根据动量守恒有：
Mv₀-mv₀=（M+m）v₁，
得${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}$，
物块第二次与障碍物碰后向右减速到零再向左加速直到再次与平板车达到共速，规定向左为正方向，根据动量守恒有：
Mv₁-mv₁=（M+m）v₂，
解得${v}_{2}=\frac{1}{2}{v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{4}$，
易得第三次碰撞后达到共同速度为${v}_{3}=\frac{{v}_{0}}{8}=0.25m/s$，
第四次碰撞后，小物块将以0.25m/s的速度，a=-μg=-5m/s²的加速度向右做匀减速直线运动到0，再向左先加速再匀速，
所以小物块与A第四次到第五次碰撞过程中，小物块经过的路程S=$\frac{{{v}_{3}}^{2}}{2a}×2=\frac{0.2{5}^{2}}{2×5}×2$m=0.0125m．
答：（1）物块与障碍物第一次碰撞后，物块与平板车所能获得的共同速率为1m/s；
（2）要使物块不会从平板车上滑落，平板车至少应为1.6m；
（3）小物块与障碍物A第四次碰撞到第五次碰撞过程中，小物块经过的路程为0.0125m．

点评 本题综合考查了动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律，综合性较强，对学生能力要求较高，需加强这方面的训练．