Question

如图所示，圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O． O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍．已知该带电粒子的质量为m、电量为q，不考虑带电粒子的重力．
（1）推导粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径
（2）求粒子通过磁场空间的最大偏转角
（3）若粒子与磁场边界碰撞后以原速率反弹，则从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子第一次回到O点经历的时间是多长？（已知arctan2=

7π

20

）

Answer 1

分析：（1）带电粒子在洛伦兹力作用下，在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可求得出轨道半径．
（2）粒子经过磁场的偏转角最大，即为在磁场中的弧长最长，也就是射入点到射出点的距离最大，由题意可知，射入点到射出点的距离最大为磁场的直径，由几何知识可求出最大偏转角．
（3）由几何关系可知粒子在与磁场边界相撞过程中所经过的圆心角，要能返回则应使粒子经过的圆心角之和为2π的整数倍．根据圆心角与周期求时间．

解答：解：（1）带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得：
  Bqυ=m

v2

r

得：轨道半径为r=

mv

Bq

（2）设磁场圆形区域的半径为R，粒子飞出和进入磁场的速度方向夹角为φ，则轨迹所对应的圆心角也为φ，由几何知识得
   sin

φ

2

=

x

2r

，x是粒子在磁场中轨迹的两端点的直线距离．
x最大值为2R，对应的就是φ最大值．且2R=r
则sin

φm

2

=

2R

2r

=

r

2r

=

1

2

则得最大偏转角为φ_m=2arcsin

1

2

．
（3）相邻碰撞点之间的圆弧对应的圆心角α有：tan

1

2

α=

r

R

=2

即得

1

2

α=

7π

20

，则α=

7

12

π
要使粒子碰撞后返回O点，应有k₁α=2πk₂（k₁、k₂为整数）
易知第一次返回O点：k₁=20，k₂=7（即碰撞了20次，转了7周第一次回到O点）
故 t=20△t=20

π-α

2π

T=

6πm

Bq

；
答：
（1）推导粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径
（2）粒子通过磁场空间的最大偏转角
（3）若粒子与磁场边界碰撞后以原速率反弹，则从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子第一次回到O点经历的时间是

6πm

Bq

．

点评：该题考查到了带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径的推导，洛伦兹力提供向心力；带电粒子在圆形区域的匀强磁场中的偏转角，与在磁场中的弧长是成正比的，弧长越长，所对应的弦长也就越长，要会熟练的利用几何关系求解圆心角；对于由于有限制条件使得粒子多次在磁场中运动的情况，要彻底分析粒子的运动过程，分析其运动规律．