题目内容

（2013?南京模拟）在水平地面上竖直固定一根内壁光滑的圆管，管的半径R=3.6m（管的内径大小可以忽略），管的出口A在圆心的正上方，入口B与圆心的连线与竖直方向成60°角，如图所示．现有一只质量m=1kg的小球（可视为质点）从某点P以一定的初速度水平抛出，恰好从管口B处沿切线方向飞入，小球到达A时恰好与管壁无作用力．取g=10m/s2．求：
（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小；
（2）小球在管的最低点C时，管壁对小球的弹力大小；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x．
分析：（1）小球到达A时恰好与管壁无作用力，由重力提供向心力，列式可求得小球到达A点的速度大小．
（2）小球从管的最低点到最高点A，管子的弹力不做功，其机械能守恒，列式可求解出濒于经过C点时的速度大小．在最低点，由重力和管子的弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出管壁对小球的弹力大小．
（3）从B到A的过程，运用机械能守恒列式，可求出B点的速度．运用分解法，可求出平抛运动的初速度和B点的竖直分速度，由vy=gt求出平抛运动的时间，小球的抛出点到管口B的水平距离x=v0t．
解答：解：（1）小球在最高时对管壁无作用力，重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=
m
v
2
A
R

可得小球到达圆管最高点时的速度为：
vA=
gR
=
10×3.6
m/s=6m/s
（2）设最低点C的速度为v，小球从管的最低点到最高点A，由机械能守恒定律可知：mg?2R=
1
2
mv2-
1
2
m
v
2
A
，
可得：v2=4gR+v
 
2
A
=（4×10×3.6+62）m2/s2=180（m2/s2）
在最低点，由向心力公式可知 FN-mg=
mv2
R
，
可得：FN=mg+
mv2
R
=（1×10+
1×180
3.6
）N=60N，方向竖直向上    
（3）设B点的速度为vB，由机械能守恒定律可知：
mg?（R+Rcos60°）=
1
2
m
v
2
B
-
1
2
m
v
2
A
，
代入数据解得：vB=12m/s
由平抛运动规律可知，小球做平抛运动过程的初速度为：
v0=vBcos60°=12×
1
2
m/s=6m/s，
在B点时的竖直速度为：vy=vBsin60°=12×
3
2
m/s=6
3
m/s
由vy=gt可知：t=
vy
g
=
6
3
10
=
3
3
5
s
由x=v0t可知，小球的抛出点到管口B的水平距离为：
x=v0t=6×
3
3
5
m=
18
3
5
m
答：（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小为6m/s；
（2）小球在管的最低点C时，管壁对小球的弹力大小为60N；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x为
18
3
5
m．
点评：本题是平抛运动、牛顿第二定律和机械能守恒定律等知识的综合应用，按程序法进行分析，关键要灵活选择研究的过程和状态．
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