题目内容
（20分）给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空心圆筒，壁有一定厚度；第三个是同样壁厚的圆筒，但两端用薄片封闭，里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放在倾角α为的斜面上，如图所示，求出并比较这些圆柱的线加速度。研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。圆柱与斜面的摩擦系数为μ，液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。
解析：沿斜面方向作用在圆柱上的力是：作用于质心重力的分量mg sinα和作用于接触点的摩擦力S，如题所给的图所示。产生的加速度a ：
ma＝mg sinα－S
纯滚动时的角加速度为：
转动的运动方程为：
以上方程组的解为：
（１）
当S达到最大可能值μmg cosα时，也就到了纯滚动的极限情形，这时：
即维持纯滚动的极限条件为
（２）
下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。
（Ⅰ）实心圆柱的转动惯量为
从（１）式和（２）式分别得到
， tan ah＝３μ
角加速度为：β＝
（Ⅱ）设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的n倍。因已知圆柱的质量是相等的，故可以算出圆筒空腔的半径r：
即
转动惯量为：
由（１）式和（２）式分别算出：
， 
角加速度为：β＝
（Ⅲ）对充满液体的圆筒，因液体与筒壁之间无摩擦力，故液体不转动。总质量为m，但转动惯量只需对圆筒壁计算：
由（１）式和（２）式分别算出：
， 
角加速度为：β＝
现在比较三个圆柱体的运动特点：线加速度和角加速度之比为：
1∶
∶
极限角正切之比为：
1∶
∶
如果斜面倾角超过极限角，则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为μmg cosα，故线加速度相同，为：
a＝g（sinα－cosα）
角加速度由
给出，但转动惯量在三种情况下各不相同。因此，若圆柱体又滚又滑，则三种情况下的角加速度分别为：
