Question

如图所示，空间存在一个方向垂直桌面向下的磁场．现将质量为m、边长为L的正方形线框MNPQ，静止放在光滑绝缘足够大的水平桌面上，PQ边与y轴重合．MN边的电阻为R₁，PQ边的电阻为R₂，线框其余部分电阻不计．
（1）若磁场随时间的变化规律为B_t=B₀+kt（k为大于零的已知常数），求线框中感应电流的大小和方向．
（2）若磁场不随时间变化，而是按照下列情况分布：磁感应强度沿y轴方向均匀分布，沿x轴方向按规律B_x=kx变化（k为大于零的已知常数），线框从t=0时刻、以初速度ν₀由图示位置向x轴正方向平动．求在图示位置线框所受安培力的大小和方向．
（3）在第（2）问中，若R₁=2R₂，求在整个运动过程中，电阻R₁产生的焦耳热．

Answer 1

分析：1、由电动势的定义式求电动势，由楞次定律判断电流方向；
2、先计算出感应电动势和感应电流，再由安培力公式求安培力；
3、由动能定理或能量关系求产生的热量．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律可知：E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=kL2
感应电流的大小为：I=

E

R1+R2

=

kL2

R1+R2

感应电流的方向沿NPQMN．                               
（2）MN处的磁感应强度为kL，所以MN切割产生的电动势为：E=BLv₀=kL²v₀，
PQ处磁感应强度为0，所以其产生的电动势也为0，
因此线框中的感应电动势为：E=kL²v₀
线框中的感应电流为：I=

E

R1+R2

=

kL2v0

R1+R2

线框受的安培力方向沿-x方向（或水平向左）                   
安培力大小为：F=LIB=

k2L4v0

R1+R2

（3）线框最终停止，根据能量关系，线框中产生的焦耳热为：Q=

1

2

m

v

2 0

电阻R₁产生的焦耳热为：QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

3

m

v

2 0

答：（1）线框中感应电流的大小为

kL2

R1+R2

，感应电流的方向沿NPQMN．
（2）在图示位置线框所受安培力的大小为

k2L4v0

R1+R2

，线框受的安培力方向沿-x方向．
（3）在整个运动过程中，电阻R₁产生的焦耳热为

1

3

m

v

2 0

．

点评：本题是道综合性较强的题目，运用了法拉第电磁感应定律，动能定理等知识点，要细心阅读题目，仔细计算．