Question

（2007?深圳二模）一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下下落，磁场的分布情况如图所示．已知磁感强度竖直方向分量B_y的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为B_y=B₀（1+ky）（此处k为比例常数，且k＞0），其中沿圆环轴线的磁场方向始终向上．金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度．求
（1）圆环中感应电流的方向．
（2）圆环收尾速度的大小．

Answer 1

分析：（1）根据楞次定律判断圆环中的感应电流方向．
（2）当圆环所受的重力与安培力相等时，达到收尾速度．根据法拉第电磁感应定律、结合能量守恒定律求出收尾的速度大小

解答：解：（1）愣次定律可知，感应电流的方向为顺时针（俯视）．
（2）圆环下落高度为y时的磁通量为：
   Φ=BS=Bπ

d2

4

=B₀（1+ky） π

d2

4

  
设收尾速度为v_m，以v_m运动△t时间内磁通量的变化为
△Φ=△BS=B₀k△yπ

d2

4

=B₀kπ

d2

4

v_m△t 
由法拉第电磁感应定律  ε=

△Φ

△t

=B₀k π 

d2

4

v_m
圆环中感应电流的电功率为 P_ε=

ε2

R

 
重力做功的功率为 P_G=mgv_m 
能量守恒   P_ε=P_G
解得    v_m=

16mgR

π2k2 B 2 0 d4

答：
（1）圆环中感应电流的方向为顺时针（俯视）．
（2）圆环收尾速度的大小是

16mgR

π2k2 B 2 0 d4

．

点评：解决本题的关键掌握楞次定律判断感应电流的方向，以及掌握法拉第电磁感应定律，能够结合能量守恒定律求出收尾速度．