Question

如图所示，两条足够长的互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为L=0.5m．在导轨的一端接有阻值为0.8Ω的电阻R，在x≥0处有一与水平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B=1T．一质量m=0.2kg的金属杆垂直放置在导轨上，金属直杆的电阻是r=0.2Ω，其他电阻忽略不计，金属直杆以一定的初速度v₀=4m/s进入磁场，同时受到沿x轴正方向的恒力F=3.5N的作用，在x=6m处速度达到稳定．求：
（1）金属直杆达到的稳定速度v₁是多大？
（2）从金属直杆进入磁场到金属直杆达到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是多大？通过R的电量是多大？

Answer 1

分析：（1）金属直杆稳定时做匀速直线运动，合力为零，推导出安培力与速度的关系式，由安培力与恒力F平衡，求解速度v₁．
（2）从金属杆进入磁场到金属直杆达到稳定速度的过程中，运用动能定理得到金属杆克服安培力做功，即可得到整个回路中产生的总热量．根据电路的连接关系，得到电阻R上产生的热量．
根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律推导出感应电荷量公式q=

△Φ

R总

，求解通过R的电量．

解答：解：（1）金属直杆的速度达到稳定时，恒力F与安培力二力平衡．此时直杆所受的安培力大小为：
F_A=BIL=BL?

BLv1

R+r

=

B2L2v1

R+r

根据平衡条件得：F=F_A；
则得：v₁=

F(R+r)

B2L2

=

3.5×(0.8+0.2)

12×0．52

m/s=14m/s
（2）对金属直杆，从进入磁场到达稳定速度的过程，由动能定理得：
Fx-W_安=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得：W_安=Fx-

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 0

=（3.5×6-

1

2

×0.2×142+

1

2

×0.2×42）J=3.0J
而回路中产生的总热量为：Q=W_安
所以得：Q=3.0J
由于导体杆与R串联，根据焦耳定律得电阻R上产生的热量 Q_R=

R

R+r

Q=

0.8

0.8+0.2

×3J=2.4J
通过R的电量：q=

.

I

?△t
又根据闭合电路欧姆定律得：

.

I

=

. E

R+r

根据法拉第电磁感应定律得：

.

E

=

△Φ

△t

联立以上三式得：q=

△Φ

R+r

又△Φ=BLx
则得：q=

BLx

R+r

=

1×0.5×6

0.8+0.2

C=3C
答：（1）金属直杆达到的稳定速度v₁是14m/s．
（2）电阻R上产生的热量是2.4J，通过R的电量是3C．

点评：本题是电磁感应与力学、电路等等知识的综合应用，关键要正确推导安培力和感应电量表达式．