题目内容
如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出（抛出后小球不会再碰轨道），已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，取g=10m/s2，求：
（1）若v0=5m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程．
（2）若v0=5m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向．
（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
分析：（1）对a到d全过程运用动能定理求出运动到d点速度，离开d点后做平抛运动，根据高度求出运动的时间，再求出水平位移．
（2）在d点小球受重力和管道对小球的作用力，根据两个力的合力提供做圆周运动的向心力，求出管道对小球作用力的大小和方向．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0，根据轨道对小球的作用力和重力的合力提供向心力，求出在c点的速度，再根据动能定理求出v0的大小．
（2）在d点小球受重力和管道对小球的作用力，根据两个力的合力提供做圆周运动的向心力，求出管道对小球作用力的大小和方向．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0，根据轨道对小球的作用力和重力的合力提供向心力，求出在c点的速度，再根据动能定理求出v0的大小．
解答：解：（1）对a到d全过程运用动能定理：-μmgL-4mgR=
mvd2-
mv02．
vd=2
m/s．
小球离开d点后做平抛运动，4R=
gt2．t=
=
s
水平射程x=vdt=
m．
（2）在d点有：mg+F=m
F=1.1N．管道对小球的作用力方向向下．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0．
有N+mg=m
N=Mg
vc=3
m/s
根据动能定理得：
-μmgL-2mgR=
mvc2-
mv02
v0=6m/s．
故v0至少为6m/s时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
vd=2
| 3 |
小球离开d点后做平抛运动，4R=
| 1 |
| 2 |
|
| ||
| 5 |
水平射程x=vdt=
2
| ||
| 5 |
（2）在d点有：mg+F=m
| vd2 |
| R |
F=1.1N．管道对小球的作用力方向向下．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0．
有N+mg=m
| vc2 |
| R |
vc=3
| 3 |
根据动能定理得：
-μmgL-2mgR=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
v0=6m/s．
故v0至少为6m/s时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
点评：该题为动能定理与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．
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