Question

如图所示，斜槽轨道一端与一个半径为0.4m的圆形轨道相连．一个质量m=0.1kg的物体，从高为H=2m的A点，由静止滑下，已知轨道光滑，求：
（1）小球通过B点时的速度及对轨道的压力；
（2）小球通过C点时速度为多大，对轨道的压力为多大；
（3）若使小球做圆周运动恰能通过C点，则H应满足什么条件．

Answer 1

分析：（1）小球从光滑的轨道上滑下过程，机械能守恒，即可由机械能守恒定律求出小球通过B点时的速度；小球经过B点时，由重力和轨道的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律及第三定律结合求解小球对轨道的压力．
（2）运用同样的方法求解小球通过C点时速度及对轨道的压力．
（3）要使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度H．

解答：解：（1）小球从A到B的过程中，由机械能守恒定律得：
mgH=

1

2

m

v

2 B

…①
得：v_B=

2gH

=

2×10×2

=2

10

m/s
在B点，由牛顿第二定律得：N_B-mg=m

v 2 B

R

…②
由①②联立得：N_B=mg+mg

2H

R

=0.1×10（1+

2×2

0.4

）N=11N
则根据牛顿第三定律得小球对轨道的压力为：N_B′=N_B=11N，方向竖直向下．
（2）小球从A到C的过程中，由机械能守恒定律得：
mg（H-2R）=

1

2

m

v

2 C

…③
得：v_C=

2g(H-2R)

=

2×10×(2-2×0.4)

=2

6

m/s
在C点，由牛顿第二定律得：N_C+mg=m

v 2 C

R

由①②联立得：N_C=mg

2H

R

-5mg=0.1×10（

2×2

0.4

-5）N=5N
则根据牛顿第三定律得：小球对轨道的压力为N_C′=N_C=5N，方向竖直向上．
（3）小钢球恰能通过最高点时，轨道对小钢球的支持力为：N_C=0
最高点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=

v2

R

小球在运动过程中由机械能守恒定律得：mgH′=mg×2R+

1

2

mv²…②
由①②解得：H′=2.5R=2.5×0.4m=1m
答：（1）小球通过B点时的速度是2

10

m/s，对轨道的压力为11N，方向竖直向下；
（2）小球通过C点时速度为2

6

/s，对轨道的压力为5N，方向竖直向上；
（3）若使小球做圆周运动恰能通过C点，则H应等于1m．

点评：本题属于圆周运动中绳子的模型，在最高点时的临界条件是重力恰好做为圆周运动的向心力，运用机械能守恒和牛顿运动定律结合进行研究．