Question

10．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，一质量为m的物块从斜面上由静止下滑．下面给出的物块在下滑过程中对斜面压力大小F_N的四个表达式中，只有一个是正确的，你可能不会求解，但是你可以通过分析，对下列表达式做出合理的判断．根据你的判断，合理的表达式应为（　　）

• A． $\frac{Mmgsinθ}{M+mco{s}^{2}θ}$
• B． $\frac{mgcosθ}{M+msi{n}^{2}θ}$
• C． $\frac{Mmgcosθ}{m+Msi{n}^{2}θ}$
• D． $\frac{Mmgcosθ}{M+msi{n}^{2}θ}$

Answer 1

分析 整个系统由于只有动能和重力势能的转化，故系统的机械能守恒，则可列出机械能守恒的表达式；同时由于M在光滑的水平面上，当m向下运动时，M也会后退，Mm组成的系统动量守恒，由动量守恒可以得到Mm之间的关系式，进而可以求得m对斜面压力大小．

解答 解：对斜面压力与斜面对m支持力是一对作用反作用力．
F_N的水平分力F_N1=F_Nsinθ，N的竖直分力F_N2=F_Ncosθ，
对M、m整体：水平方向不受外力，动量守恒有：mV_x=MV．
整个系统无摩擦，只有重力做功，设斜面高为h，由机械能守恒得．
mgh=$\frac{1}{2}$mV_物²+$\frac{1}{2}$MV²，
设下滑时间为t，对M由动量定理：F_Nsinθ•t=MV，
对m：竖直方向，由动量定理：（mg-F_Ncosθ）•t=mV_y，
在水平方向，由动量定理：F_Nsinθ•t=mV_x，
又由于 V_物²=V_x²+V_y²，
解以上方程可得，
F_N=$\frac{Mmgcosθ}{M+msi{n}^{2}θ}$
故选：D

点评 由于斜面是在光滑的水平面上，并没有固定，物体与斜面相互作用会使斜面后退，由于斜面后退，物体沿着斜面下滑路线与地面夹角大于θ，与物体沿着固定斜面下滑截然不同．
本题有简便方法，即特殊值法：假设θ=0，看是否符合实际；再假设θ=90°，看是否符合实际．