Question

如图甲所示，在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN，P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直地放置，其俯视图如图乙所示．已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m，极板本身的厚度不计，极板长均为L=0.2m，板间电压都是U=6.0×10²V．金属板右侧为竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=5×10²T，磁场区域足够大．今有一质量为m=1×10^-4kg，电量为q=2×10^-6C的带负电小球在水平面上如图从PQ平行板间左侧中点O沿极板中轴线以初速度v=4m/s进入平行金属板PQ．

（1）试求小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度；
（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．则金属板Q、M间距离最大是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）小球做类平抛运动，电场力与牛顿第二定律，可求出加速度大小，从而确定速度的大小与方向，即可求解；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，并结合几何关系与运动学公式，可求出偏转位移，从而即可求解．
解答：解：（1）小球在PQ金属板中做类平抛运动：
小球所受电场力，
而小球加速度 
故

小球在板间运动的时间  
小球在垂直板方向上的速度 v_y=at=60×0.05m/s=3m/s     
则小球离开PQ板时的速度为=5m/s 
v_t沿中轴线的夹角为                  
（2）在PQ极板间，若P板电势比Q板高，则小球向P板偏离，进入右侧磁场后做圆周运动，由运动的对称性，则必须N板电势高于M板电势，其运动轨迹如图a所示；同理若Q板电势比P板高，则必须M板电势高于N板电势，其运动轨迹如图b所示．否则不可能在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．
小球进入磁场后做圆周运动，设运动半径为R，因洛仑兹力提供向心力，即：
  
所以   
在PQ极板间，若小球向P板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为h_a；在PQ极板间，若小球向Q板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为h_b．由图中几何关系（注：图中半径不同，为简便，两图合一）可算得：
 m=0.8m 
小球偏离中轴线的位移
=7.5×10^-2m
当小球向P板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为   
当小球向Q板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为  
显然d₂＞d₁          
代入数据得 d₂=h_b-d+2Y_侧=0.8-0.2+2×7.5×10^-2m=0.75m
因而金属板Q、M间距离最大为0.75m．
答：（1）则小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度大小为5m/s，方向与轴线的夹角正切值为；
（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．则金属板Q、M间距离最大是0.75m．
点评：本题涉及力、运动、电场、磁场以及对称性等知识、方法的综合运用能力，考查逻辑推理能力、综合分析能力、运用数学知识解决物理问题能力和探究能力．