Question

（2007?江苏）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v₀=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n．

Answer 1

分析：（1）线框MN边刚进入磁场时，右边切割磁感线产生感应电动势，从而产生感应电流，根据安培力的公式F=BIL求解．
（2）线框水平方向上进磁场和出磁场受安培力做减速运动，在无磁场区以及全部在磁场中做匀速直线运动，在竖直方向上仅受重力，做自由落体运动．根据自由落体运动求出线框的末速度，再根据能量守恒：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

，求出热量Q．
（3）线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，才受到安培力，在水平方向做减速运动．因为线框在水平方向上做变减速运动，取很短的一段时间△t，根据动量定理有：-F△t=m△v，再利用微分∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
求出线框在水平方向上减速运动的位移，从而求出穿过的完整条形磁场区域的个数．

解答：解：（1）线框MN边刚进入磁场时有：F=BlI=Bl

Blv0

R

=2.8N
（2）设线框竖直下落H时，速度为v_H
由能量守恒得：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

自由落体规律：v_H²=2gH
解得：Q=

1

2

m

v

2 0

=2.45J
（3）只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，线框部分进入磁场区域x时有：F=BlI=Bl

Blv

R

=

B2l2

R

v
在t→t+△t时间内，由动量定理：-F△t=m△v
求和：∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
解得：

B2l2

R

x=mv0
穿过条形磁场区域的个数为：n=

x

2l

≈4.4
可穿过4个完整条形磁场区域．

点评：解决本题的关键掌握切割产生的感应电动势E=BLv．以及熟练运用能量守恒．第（3）问较难，在水平方向进磁场和出磁场做变减速运动，取很小的一段，通过微分的思想来解决问题．