Question

如图所示，在正交坐标系Oxyz的空间中，同时存在匀强电场和匀强磁场（x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上）．匀强磁场的方向与Oxy平面平行，且与x轴的夹角为60°．一质量为m、电荷量为+q的带电质点从y轴上的点P（0，h，0）沿平行于z轴正方向以速度v₀射入场区，重力加速度为g．
（1）若质点恰好做匀速圆周运动，求电场强度的大小及方向；
（2）若质点恰沿v₀方向做匀速直线运动，求电场强度的最小值E_min及方向；
（3）若电场为第（2）问所求的情况，撤去磁场，当带电质点P点射入时，求带电粒子运动到Oxz平面时的位置．

Answer 1

分析：（1）质点恰好做匀速圆周运动，则由洛伦兹力提供向心力，电场力与重力相平衡，从而可确定电场强度的大小与方向；
（2）若质点做直线运动，则一定是匀速直线运动，因为洛伦兹力受到速度的影响，所以三力处于平衡状态，根据力的合成与分解可列出洛伦兹力与重力的关系、电场力与重力的关系，从而确定电场强度的大小与方向；
（3）若撤去磁场，当带电质点P点射入时，只受到电场力与电场力共同作用，质点做类平抛运动，根据平抛运动处理规律来确定质点的位置．

解答：解：（1）由于质点做匀速圆周运动，所以质点受到的电场力、重力二力平衡，即：qE-mg=0  
得：E=

mg

q

   向竖直向上   
（2）如图甲所示，带电质点受重力mg、洛伦兹力f=qv₀B、电场力F=qE的作用做匀速直线运动，
根据几何关系可知：当电场力方向与洛伦兹力方向垂直时，场强有最小值E_min，
所以电场强度E_min的方向与xOz的夹角为60°，即与磁感应强度B的方向相同． 
根据牛顿运动定律：qE_min-mgsin60°=0   ①
f_洛-mgcos60°=0     ②
由①②解得：Emin=

3 mg

2q

（3）如乙所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力与存在磁场时的洛伦兹力大小相等方向相反，即沿图中PM方向，合力与v₀方向垂直．由②得   f洛=mgcos60°=

1

2

mg
设经过时间t到达Oxz平面内的点N（x，y，z），由运动的合成和分解可得：
沿v₀方向：z=v₀t③
沿PM方向：PM=

1

2

at2④
沿PM方向：PM=

h

sin30°

=2h⑤
联立③～⑤解得：

x= 3 h z=2v0 2h g

所以．带电质点在N(

3

h，0，2v0

2h g

)的位置．
答：（1）若质点恰好做匀速圆周运动，求电场强度的大小

mg

q

及方向竖直向上；
（2）若质点恰沿v₀方向做匀速直线运动，则电场强度的最小值为

3 mg

2q

及方向与xOz的夹角为60°，即与磁感应强度B的方向相同；
（3）若电场为第（2）问所求的情况，撤去磁场，当带电质点P点射入时，则带电粒子运动到Oxz平面时在N(

3

h，0，2v0

2h g

)的位置．

点评：考查质点当做匀速圆周运动时，则有电场力与重力相平衡，仅仅由洛伦兹力提供向心力；当做直线运动时，则有电场力、洛伦兹力与重力处于平衡状态，否则不可能做直线运动，原因是洛伦兹力受到速度的影响；当只受到电场力与重力时，若初速度与两力的合力相垂直，则做类平抛运动．